Gelijkrichten met verstand
Rekenen aan een elektronische schakeling hoeft helemaal niet moeilijk te zijn. Door het probleem te beperken tot een bepaald aspekt kan er toch gemakkelijk een heel leerzaam resultaat uit komen. Neem nou een voeding: Wat is de rimpelspanning over de bufferkondensator? Hoe groot is de piekstroom die door de gelijkrichtdioden loopt? Daar zijn vuistregeltjes voor, maar waar komen die vandaan? Dat vraagt dus om een nader onderzoek.
Een voeding is in veel gevallen een schakeling die op grond van ervaring en vuistregels in elkaar gezet wordt. Zeker bij vuistregels is vaak de herkomst niet te achterhalen en ook de beperkingen van de regels zijn dikwijls niet vermeld. Praktisch is er dan wel mee te werken, maar echt wijzer wordt je er niet van. In dit artikel gaan we eerst proberen wijzer te worden, om vervolgens bij de praktische regeltjes te eindigen.
De schakeling waar het om gaat, is getekend in figuur 1. We zien om te beginnen een transformator met in het primaire circuit een verliesweerstand Rp. Deze verliesweerstand is de som van de ohmse koperweerstand van de primaire wikkeling en de verliesweerstand ten gevolge van het lek- of strooiveld waarmee elke transformator behept is. Eigenlijk zouden we ook nog met de induktieve komponent van het lekveld rekening moeten houden, maar dat zou er voor zorgen dat de volgende formules minstens in omvang zouden verdubbelen en er bovendien niet begrijpelijker zouden uitzien. Gelukkig heeft deze verwaarlozing geen al te grote gevolgen; 'n beetje trafo heeft toch een beperkt lekveld. Ook zijn in figuur I de ijzerverliezen niet vertegenwoordigd, maar deze zijn voor de verdere berekeningen van nog minder belang. Aan de sekundaire kant van de trafo komen we opnieuw een verliesweerstand (Rs) tegen. Voor deze weerstand geldt hetzelfde verhaal als voor Rp, maar in Rs hebben we bovendien de weerstand van de geleidende dioden verwerkt, die meestal kleiner wordt naarmate de dioden voor grotere stromen geschikt zijn. De dioden vormen in dit schema een gelijkrichterbrug die uiteraard voor het gelijkrichten van de wisselspanning zorgt. In dit geval gaat het om een dubbelzijdige gelijkrichting. De berekeningen aan een enkelzijdige gelijkrichter zijn bijna identiek, dus daar hebben we geen apart schema voor nodig. Tot slot is de schakeling voorzien van een bufferkondensator die voor de afvlakking van de gelijkspanning moet zorgen.
Figuur 1. Is het gedrag van een ongestabiliseerde voeding uit te rekenen?
Voordat we nu echt aan de slag gaan, moeten we de schakeling nog een klein beetje modificeren. De weerstanden Rp en Rs geven - zo gescheiden van elkaar - wat extra rekenwerk, want we moeten elke keer weer de transformatie-verhouding van de trafo invullen en de beide weerstanden apart noemen. We kunnen daarom beter vooraf Rp naar het sekundaire circuit transformeren en bij Rs optellen. Op de plaats van Rs krijgen we dan weerstand R en weerstand Rp "verdwijnt". De waarde voor R is als volgt uit te rekenen:
Door dit omrekenen zijn we als het ware de trafo kwijt. De schakeling wordt nu gevoed uit een spanningsbron die een spanning U. levert en een inwendige weerstand R heeft en een bij nominale belasting verwaarloosbare induktie. Jammer genoeg is weerstand R wegens gebrek aan gegevens meestal niet uit te rekenen, terwijl meten ook niet eenvoudig is. Met een ohmmeter redden we het niet, want die houdt geen rekening met de verliesweerstand van het lekveld. Ook de weerstand die de dioden vormen kan die ohmmeter niet realistisch meten. Voor een goede meting hebt u op z'n minst een variac nodig waarmee de trafo wordt gevoed (beginnen met U = O!). De bufferkondensator wordt kortgesloten met een ampère-meter (vandaar die variac). De nu volgende meetmethode staat bekend als de zogenaamde kortsluitproef. Deze proef maakt het mogelijk om de totale vervangingsimpedantie van een nominaal belaste trafo vast te stellen. En verwaarlozen we de induktieve komponent, dan vinden we zo de vervangingsweerstand van de trafo plus, in ons geval, de gelijkrichter.
We beginnen de meting met de variac zo ver omhoog te draaien dat de sekundaire wikkeling de door de fabrikant opgegeven nominale stroom levert. De primaire spanning die daarvoor nodig is, hangt af van de variac, de trafo, de gelijkrichterdiode(n) en de stroommeter. De stroom die de stroommeter aanwijst, is de effektieve waarde van de zogenaamde kortsluitstroom (Ik eff). R is dan uit te rekenen met R = Us / Ik eff.
Eerst tekenen, dan rekenen
In figuur 2 hebben we een paar spanningen bij elkaar gezet, waarmee we te maken krijgen als we gaan rekenen aan de schakeling. Om te beginnen is daar U. die, behandeld door een ideale gelijkrichter, er uit ziet zoals in de figuur is getekend (|U5|). Maar ideale gelijkrichters bestaan niet. De spanning waarover we beschikken om de bufferkondensator te laden, is door de drempelspanning van de dioden dan ook lager. hoe groot de spanningsdaling is, is afhankelijk van het aantal dioden dat overwonnen moet worden en de grootte van de drempelspanning van de dioden. Bij de in figuur 1 getekende gelijkrichter moeten we rekening houden met een verlies (Ud) van maximaal 2 V. Dat lijkt misschien te veel, maar bij een 1N4001 is een drempelspanning van 1 V beslist niet ongewoon. Na de gelijkrichter hebben we dus de beschikking over spanning U. Die spanning zult u echter door de aanwezigheid van de bufferkondensator nergens in de gegeven schakeling tegenkomen, want die maakt er meteen spanning Uc van. In de meeste theorieboeken ziet die spanning Uc er iets anders uit (zoals het gestippelde stukje vlak onder de eerste top van U). Afhankelijk van de verhouding tussen laad- en ont-laadstroom van de bufferkondensator zal de spanning een vorm hebben die ergens tussen de gestippelde en doorgetrokken kurve van Uc in ligt.
Figuur 2. Het is niet altijd zo dat de kondensator tot de topwaarde van de aangeboden spanning wordt opgeladen.
Hoe is het verloop van Uc (de getrokken lijn) te verklaren? Het begint als spanning U groter wordt dan Uc. Vanaf dat moment gaat er een stroom van de spanningsbron via weerstand R naar de kondensator lopen. De grootte van die stroom wordt bepaald door het verschil tussen U en Uc (Uv), en weerstand R waarover Uv staat. In eerste instantie is Uv nog niet zo groot en zal de stroom waarmee de bufferkondensator wordt geladen nog niet toereikend zijn om de stroom waarmee de kondensator wordt ontladen te kompenseren. Spanning Uc zal dus eerst nog even afnemen tot waarde Um. Pas daarna gaat de spanning over de kondensator stijgen. Die stijging kan ook nog doorgaan als spanning U alweer aan het dalen is. Zolang immers de toegevoerde stroom maar groter is dan de afgevoerde stroom, loopt er een laadstroom de kondensator in. Maar op een gegeven moment wordt U te klein en begint het ontladen van de kondensator. Hoe ver Uc nu daalt, hangt af van stroom I die de kondensator aan de aangesloten schakeling moet leveren en van de tijdsduur van de ontlading. En met stroom en tijd kunnen we wat doen; daar hebben we een formule voor. De grootte van de stroom weten we, we maken de voeding immers om een bepaalde belasting van voldoende stroom te voorzien. De tijdsduur weten we bijna. liet is de periodetijd van gelijkgerichte spanning minus de tijd die nodig is om de kondensator te laden. Die laadtijd weten we niet (nog niet), maar zoals de gestippelde kurve laat zien is in veel gevallen die tijd klein ten opzichte van de ontlaadtijd. Laten we maar zeggen verwaarloosbaar klein, want dan is de ontlaadtijd gelijk aan de periodetijd (Tg) van de gelijkgerichte spanning. Tg is afhankelijk van de frekwentie en van de manier van gelijkrichten. Bij dubbelzijdige gelijkrichting wordt de kondensator tweemaal zo vaak bijgeladen als bij enkelzijdige gelijkrichting. Er geldt dan ook Tg = 1/f bij enkelzijdige gelijkrichting en Tg = 1/2f bij dubbelzijdige gelijkrichting. De lading (Qu) die we in die tijd aan de bufferkondensator onttrekken, kunnen we uitrekenen met Qu = I × Tg. De rimpel-spanning kunnen we dan berekenen met:
Als we dat verder uitwerken voor een netfrekwentie van 50 Hz, dan komen we op de volgende vuistregels:
bij dubbelzijdige gelijkrichting en
bij enkelzijdige gelijkrichting.
Het leuke van deze vuistregels is dat de berekende rimpelspanning een maximum is. De ontlaadtijd zal immers altijd korter zijn dan Tg, maar kan nooit langer zijn. In de praktijk zult u er met deze vuistregels nooit ver naast zitten en zelfs als u er naast zit, dan is de rimpel altijd minder.
Maar behalve de rimpelspanning is ook de gemiddelde kondensatorspanning van belang of - als u bijvoorbeeld met spanningsstabilisatoren werkt - de minimumkondensatorspanning. Het exakt uitrekenen van deze spanningen is helaas nogal komplex. We zijn dan ook uitgeweken naar een benadering waarbij we gebruik maken van de gegevens die we tot nu toe hebben gevonden. Welke benadering voor de grootte van de gemiddelde kondensatorspanning geldt (we maken er twee), hangt vooral af van de verhouding tussen weerstand R (die de weerstand van de trafo en de gelijkrichter vervangt) en de belastingsweerstand waar doorheen stroom I vloeit. Is de belastingsweerstand groot ten opzichte van R, dan is I klein ten opzichte van de maximale stroom waarmee de bufferkondensator geladen kan worden. liet gevolg is dat de kondensator tot aan de topwaarde (Û) van de beschikbare spanning kan worden opgeladen. Voor de gemiddelde spanning kunnen we dan schrijven Uc = Û - ½Ur en voor de minimale spanning Um = Û - Ur. Als het verschil tussen R en de belastingsweerstand niet zo groot is, zal de kondensator niet meer tot Û kunnen worden opgeladen en gelden de bovenstaande vuistregels voor Uc en Um niet meer. Hoe groot Uc dan wordt, is echter eenvoudig te berekenen als we de schakeling omzetten in het schakelingetje dat in figuur 3 is getekend. De spanningsbron vertegenwoordigt hier de trafo en de gelijkrichter.
Figuur 3. Voor de gemiddelde kondensatorspanning bij zware belasting herleiden we de voeding tot dit schemaatje.
De bron levert een gelijkspanning die gelijk is aan de gemiddelde waarde van de onbelaste en niet afgevlakte gelijkspanning (U) die door de trafo en de gelijkrichter geleverd wordt. Weerstand R kennen we nog, die dient hier als inwendige weerstand van de bron. Als we uit deze schakeling een stroom I trekken, dan ontstaat een uitgangsspanning Uc die is uit te rekenen met: Uc = U - R × I. De grootte van U is afhankelijk van het type gelijkrichter. Bij dubbelzijdige gelijkrichting is Uc gelijk aan 2 × Û/π en bij enkelzijdige gelijkrichting aan Û/π.
Als laatste moeten we er nog achter zien te komen hoe groot de stroom door de gelijkrichterdioden (Îd) wordt. Het absolute maximum van deze stroom wordt als volgt bepaald: Îmax = Û/R. Meer stroom kan er gewoon niet geleverd worden. Deze stroom treedt overigens onder normale omstandigheden alleen op als de voeding wordt ingeschakeld, omdat dan de kondensatorspanning nog nul is. Maar ook bij extreem zware (over)belasting, als het minimum van de rimpelspanning nul volt is, geldt: Îd = Îmax. Maar in de normale gevallen is de kondensator-spanning een stuk groter. De stroom die dan maximaal gaat lopen, is gelijk aan het maximale spanningsverschil over weerstand R (ongeveer 0 - Uc) gedeeld door weerstand R. Dus:
Deze stroom moeten de gelijkrichterdioden dus zonder problemen kunnen verdragen, terwijl om wille van de stroom bij het inschakelen ook de maximale stroom zeer kortstondig schadevrij moet kunnen worden verwerkt.
Klopt het wel?
Ja natuurlijk klopt het, we hebben het immers net zelf afgeleid, zij het dat we hier en daar wat praktische aannames in de afleiding hebben betrokken. Wie het niet gelooft, kan het nog eens nakijken in de meer wetenschappelijkere afleiding voor Ur die voor het gemak maar even apart is gezet. Uiteindelijk komen we weer op dezelfde vuistregels uit, alleen hebben we nu ook een voorwaarde gevonden die bepaalt of de laadtijd (2 × tL) wel of niet verwaarloosd mag worden: de verhouding tussen I en Îmax (ofwel die tussen R en de belastingsweerstand). Hierbij is Îmax de topwaarde van de kortsluitstroom van de voeding. De grootte van Îmax is afhankelijk van de weerstand (R) die deze stroom in het voedingscircuit ondervindt en de maximaal beschikbare spanning (Û). Jammer daarom dat R zo lastig te meten is. Voor de rimpel-spanning is dat eigenlijk nog niet eens zo erg, want de vuistregeltjes geven immers een maximum-waarde voor Ur. Erger kan het dus niet worden. Veel belangrijker is R als we de gemiddelde kondensatorspanning (Uc) willen uitrekenen. Want hoe groter R, des te lager zal de gemiddelde kondensatorspanning zijn bij een bepaalde belastingsstroom. Een exaktere afleiding van de kondensatorspanning dan die we net gegeven hebben, zou tot dezelfde twee vuistregels voor Uc moeten leiden. Maar helaas is die heel wat komplexer dan de afleiding van Ur. Zelfs als we de afleiding die we voor b. gemaakt hebben invullen in Uc = Û × cos(ωtL), dan nog hebben we geen universeel bruikbaar resultaat. Want er is bijvoorbeeld nog geen rekening gehouden met de RC-tijd van weerstand R en de bufferkondensator. Zo'n simpele voeding is blijkbaar toch nog niet zo eenvoudig door te rekenen. We hebben er dan ook maar van af gezien om die op papier te zetten. Maar als u de beperkingen van de vuistregels kent en ook weet hoe de vuistregels ontstaan zijn, dan moet het in de praktijk ook zonder exakte formules lukken.
