Hallgenerator - Principe na eeuw in praktijk
Bij regelsystemen heeft het meten van grootheden een zeer belangrijke functie. Zonder het bepalen van de werkelijke uitgangswaarde kan geen gesloten regelsystemen bestaan (zie hiervoor het boek Servosystemen, een uitgave van De Muiderkring). Hiervoor zijn sensoren of voelers nodig die de gemeten grootheid uitdrukken in de grootte van een elektrisch signaal. Een van deze voelers is de Hallgenerator. Hierin wordt een spanning opgewekt waarvan de grootte en de polariteit afhangt van de grootte en de richting van een magnetisch veld.
De werking van de Hallgenerator be-rust op een effect dat door Edwin H. Hall in 1879 is ontdekt. Hij vond dat tussen de zijkanten van een geleider, the wordt doorlopen door een stroom en die zich loodrecht in een magnetisch veld bevindt, een spanning meetbaar is. In afb. 1 wordt een rechthoekige geleider, die zich loodrecht in het magnetisch veld B bevindt, doorlopen door de stroom i. Tussen de aansluitingen C en D - op de smalle zijkanten van de geleider - werkt deze spanning, die de Hall-spanning UH wordt genoemd. De stroom in deze afbeelding is de zogenoemde "elektrische stroom" (van plus naar min door de belasting). De Hall-spanning vindt zijn oorzaak in de bekende Lorentzkracht. In principe zou de geleider in afb. 1 zich onder invloed van deze kracht loodrecht op het magnetisch veld moeten gaan bewegen. Dit is nu niet mogelijk omdat hij wordt vastgehouden. De Lorentzkracht werkt namelijk loodrecht op de in het magnetisch veld bewegende elektronen, waaruit i uiteindelijk is opgebouwd. Deze elektronen bewegen zich daardoor niet weer volgens een rechte lijn door de geleider, zodat er aan een zijde van de geleider een opeenhoping van deze ladingdragers ontstaat, hetgeen de Hall-spanning op de zijkanten van de geleider tot gevolg heeft (afb. 2).
Afb. 1 Het Hall-effect.
Afb. 2 Elektronenbaan in een geleider onder invloed van de Lorentzkracht.
Het Hall-effect treedt niet alleen op bij geleiders, maar ook bij halfgeleiders en bij deze laatste vaak nog wel het sterkst. De meest toegepaste stoffen zijn indium-arsenide (InAs), indiumarsenide-fosfide (InAsP) en indium-antimonide (InSb). Hiervan geeft indium-arsenide, bij gelijke temperatuur, veldsterkte en stroomsterkte, een 750 keer en indium-antimonide een 2100 keer grotere Hallspanning dan koper. Hieruit zou volgen dat indium-antimonide bij voorkeur zou worden toegepast. Een nadeel van dit materiaal is echter de zeer grote temperatuurgevoeligheid.
Afb. 3 Geleider met een doorsnede van 1 m2 en een lengte van 2 m.
De grootte van het Hall-effect staat in direct verband met de beweeglijkheid van de ladingdragers en hoe groter deze beweeglijkheid is des to groter is ook de Hallspanning. De beweeglijkheid (t) is een uitdrukking voor de snelheid (v in m/s), die een ladingdrager verkrijgt als het onder invloed staat van een elektrisch veld (E) ter grootte van 1 V/m. In formulevorm:
Hierin is Ea de sterkte van het elektrisch veld ten gevolge van de aangelegde spanning.
In afb. 3 is een geleider getekend met een lengte (1) van 2 m en een doorsnede van 1 m2. Nemen we als materiaal hiervoor koper met een soortelijke weerstand (ρ) van 1,75 × 10-8 Ω/m (V/Am), dan is de weerstand hiervan 2 × 1,75 × 10-8 Ω (V/A). Een spanning Ua van 2 × 1,75 × 10-8 V is dan genoeg om een stroom van 1 A te veroorzaken. Dit is een ladingverplaatsing van 1 C/s. Bij een snelheid van 1 m/s zal in 1 s een lading zijn verplaatst gelijk aan de lading in een strekkende meter van de geleider. De inhoud hiervan is 1 m3 en er bevinden zich hierin elektronen met elk een lading q. De ladingverplaatsing is daarom n × q C/s. Hierin is n het aantal elektronen per m3 en q de lading van een elektron (1,602 × 10-19 C). Bij een geleider nemen uitsluitend elektronen aan de stroom deel, zodat geen rekening met gaten behoeft te worden gehouden. Bij een snelheid van 2 m/s is de ladingverplaatsing 2 × n × q C/s, zodat bij een snelheid van v m/s de verplaatsing v × n × q C/s is. Voor een stroom van 1 A moet dit gelijk zijn aan 1 C/s: v × n × q = 1 C/s. Bij een stroomsterkte van 1 A geldt dus:
De elektronenstroom door de geleider komt tot stand door een elektrisch veld Ea dat afhankelijk is van de aangelegde spanning Ua en de lengte 1 van de geleider. De veldsterkte in de geleider is daarom gelijk aan:
Uit formule 1 en 2 volgt daarom:
Ervan uitgaande dat 1 m3 koper 1,115 × 1029 elektronen bevat en een elektron een lading heeft van 1,602 × 10-19 C, dan vinden we: μkoper = 0,0032 m3/Vs. Bij halfgeleidermaterialen is de beweeglijkheid van de elektronen belangrijk groter. In tabel 1 zijn de waarden van μ voor enkele stoffen weergegeven. Daar bij halfgeleiders de stroom is opgebouwd uit een elektronenstroom en een gatenstroom is er een kolom voor de elektronenbeweeglijkheid μe en de gatenbeweeglijkheid μg. Verder geldt de tabel voor ongedoopt (intrinsiek) half geleidermateriaal, waarbij het aantal elektronen gelijk is aan het aantal gaten.
| Materiaal | Symbool | ρ in Vm/A | μe in m2/Vs | μg in m2/Vs | n in 1/m3 | RH in m3/As |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Koper | Cu | 1,75 × 10-8 | 0,0032 | - | 1,115 × 1028 | 0,55 × 10-10 |
| Germanium | Ge | 0,435 | 0,38 | 0,18 | 2,5 × 1019 | - |
| Silicium | Si | 625 | 0,17 | 0,035 | 1,5 × 1016 | - |
| Indium-antimonide | InSb | 5 × 10-5 | 7,7 | 0,08 | 1,6 × 1022 | 3,82 × 10-4 |
In afb. 4 wordt een rechthoekige, stroomvoerende geleider loodrecht doorsneden door een magnetisch veld met de sterkte B. De kracht die hierdoor op elk der elektronen wordt uitgeoefend wordt uitgedrukt door:
Afb. 4 Geleider in een magnetisch veld.
Hierin geeft q de lading en v de snelheid van het desbetreffende elektron weer. Volgens formule 1 geldt:
Nu formule 3 toepassen:
Voor de weerstand van de geleider kunnen we noteren:
Hieruit volgt:
Dit invullen in formule 4:
Hierin is Ea uit te drukken als:
Dit is de kracht die een elektron doet afbuigen waardoor aan de D-zijde van het materiaal een negatieve lading wordt opgebouwd, die merkbaar is aan de spanning UH tussen de aansluitingen C en D.
Een elektron dat zich van F naar E door de geleider verplaatst zal nu niet alleen de kracht FB ten gevolge van het magnetisch veld ondervinden, maar ook een kracht FH dat het elektrisch veld op hem uitoefent, afkomstig van de Hall-spanning UH. De kracht FH is tegengesteld aan FB. De negatieve lading bij D heeft namelijk een afstotende werking op de elektronen (afb. 5). De kracht op een elektron ten gevolge van UH is uit te drukken met:
Afb. 5 Krachten op een elektron.
Een elektron dat van F naar E door de geleider gaat zal om in E terecht te kunen komen een rechte lijn moeten doorlopen. Dat kan alleen als FB = FH. Volgens formule 5 en 6 volgt nu:
Hierin is 1 : (n × q) een factor die van het materiaal afhangt.
Deze factor wordt de Hallconstante genoemd (RH) in m3/As.
Bovenstaande herleiding geldt voor geleiders. Voor intrinsieke halfgeleiders waarbij zowel een elektronenstroom als een gatenstroom voorkomt moet de Hallconstante worden uitgedrukt in:
Gezien de zeer kleine waarde van UH bij metalen (RH voor koper is ong. 0,5 × 10-10 m3/As) hebben deze geen nut voor het maken van Hallgeneratoren. De Hallgenerator is dan ook pas tot ontwikkeling gekomen na het vervaardigen van halfgeleidermaterialen met een grote RH (voor indium-antimonide ong. 3,8 × 10-4) en het vinden van technieken waarmee zeer dunne plaatjes uit deze halfgeleiders kunnen worden gemaakt. Uit formule 7 volgt namelijk dat de Hallspanning omgekeerd evenredig is met de dikte van het materiaal (d).
Door middel van zagen, slijpen en etsen kunnen plaatjes met een dikte van 5 tot 100 µm worden verkregen die met kit op een drager van keramisch materiaal of ferriet worden bevestigd. Ook wordt het halfgeleidermateriaal wel op een drager opgedampt tot een dikte van 2 tot 3 µm. Hiermee wordt het mogelijk Hallgeneratoren (ook wel Hall-elementen) geintegreerd met een versterker in een behuizing onder te brengen. De versterker brengt dan de Hallspanning tot het juiste niveau.
De grootte van UH is evenredig met de sterkte van de stroom door de Hallgenerator. Wordt deze gevoed met een wisselstroom, dan is UH een wisselspanning van gelijke frequentie. De Hallspanning is niet alleen recht evenredig met de veldsterkte B, maar ook nog afhankelijk van de hoek die het veld maakt ten opzichte van de loodlijn ("normaal") op het half geleidermateriaal. In formule 7 is B de sterkte van het veld evenwijdig aan de normaal. In afb. 6 staat veld B onder een hoek α ten opziche van de normaal N. Uit het vectordiagram volgt dat de veldsterkte in de normaalrichting gelijk is aan B × cosα zodat:
Afb. 6 Magnetisch veld onder een hoek met de normaal.
Het is daarom mogelijk het Hall-element als analoog rekenelement te gebruiken voor het bepalen van goniometrische verhoudingen (zoals de resolver in servosystemen), maar ook voor het vermenigvuldigen van twee grootheden. De Hallspanning is rechtevenredig met het produkt van B en i, e die kunnen elk een waarde van een bepaalde grootheid vertegenwoordigen. Behalve als sensor in servosystemen kan het Hall-element verder nog worden toegepast als magneetbandkop en voor het opwekken van een draaiveld in een commutatorloze gelijkstroommotor.
Het is mogelijk dat een Hallgenerator nog een spanning afgeeft als er wel een stroom i aanwezig is, maar geen veld. Deze "restspanning" ontstaat door asymmetrie van het element en door een eventueel niet homogene samenstelling van het half geleidermateriaal. Gecompenseerd wordt deze spanning met de schakeling uit afb. 7. Met de potentiometer wordt een gedeelte van de spanning Ua, gelijk aan de restspanning, in oppositie met UH geschakeld. Een andere fout ontstaat als de aansluitdraden aan C en D van het element een lus vormen in het veld B. Door veranderingen van het veld B kan in deze lus een spanning worden geinduceerd, ook als stroom i nul is. Vaak wordt de uitgangsspanning van de Hallgenerator met een gevoelige opamp versterkt waardoor de geinduceerde spanning een nadelige invloed kan uitoefenen. Deze spanning kan worden opgeheven door met een der aansluitdraden een lus te vormen en deze ook door het veld B te laten doorlopen in een zodanige richting dat de totaal geinduceerde spanning in het circuit nul is.
Afb. 7 Corrigeren van de restspanning.
M. B. Immerzeel.