Home - Techniek - Electronica - Radiotechniek - Radio amateur bladen - TV amateur - Die Bandbreite von FM-Signalen
1. Grundbegriffe
Die einstellbaren Parameter eines FM-Signals sind die Modulationsfrequenz fM und der Frequenzhub Δf, also die maximale Abweichung von der Frequenz des Trägers. Es zeigt sich, daß nicht der Frequenzhub Δf, sondern der Modulationsindex M für die Bandbreite und andere Eigenschaften eines FM-Signals entscheidend ist. Er allein kommt in den Formeln vor, wenn er natürlich auch von Modulationsfrequenz und Frequenzhub abhängt:
1.1 Der Modulationsindex
Der Modulationsindex M gehorcht der Beziehung:
M ist ein Winkel im Bogenmaß, der angibt, wie groß der Phasenunterschied zwischen dem modulierten und dem unmodulierten Träger maximal werden kann. Bei M=1 beträgt der Phasenunterschied demnach maximal ± 57,3°. Bei großem Frequenzhub Δf und kleiner Modulationsfrequenz fM kann M ganz wesentlich größer als 1 werden.
1.2 Der Systemgewinn
Eine äußerst wertvolle Eigenschaft von FM ist der Systemgewinn S. Das ist der Gewinn an Signal/Rausch-Abstand von FM mit Modulationsindex M gegenüber AM mit dem Modulationsgrad m. Die Größe des Systemgewinns S hängt vom Modulationsindex M nach folgender Formel ab:
Schon beim Modulationsindex M = 1 gewinnen wir also den Faktor 3 gegenüber AM mit 100% Modulationsgrad. Wir alle wissen, wie gut z.B. FM-ATV geht.
1.3 Das Spektrum von FM
Bei kleinen Werten des Modulations-index M sieht das FM-Spektrum wie AM aus. Wir haben den Träger und 2 Seitenbänder im Abstand der Modulationsfrequenz fM. Was man nicht sieht, sind die völlig anderen Phasenbeziehungen zwischen Träger und Seitenbändern. Diese Phasenbeziehungen sind für die konstante Amplitude von FM verantwortlich. Der Frequenzhub Δf kommt im Spektrum nicht vor.
Mit wachsendem Modulationsindex M treten weitere Seitenbänder auf, deren Abstand vom Träger ein ganzzahliges Vielfaches der Modulationsfrequenz fM beträgt. Die Amplituden von Träger und Seitenbändern in Abhängigkeit vom Modulationsindex M werden durch die Besselfunktionen J0(M) festgelegt. Dabei ist J0 der Träger und Jn mit n = 1, 2, 3, ... das entsprechende Seitenband.
1.4 Die Besselfunktionen
Abbildung 1 zeigt die Werte der Besselfunktionen J0 - J7 in Abhängikgeit vom Modulationsindex M. überraschend ist, daß bei M = 2,405 die Amplitude des Trägers durch 0 geht, ebenso das erste Seitenband bei M = 3,83. Dies Verhalten wird zur Eichung von Hubmeßgeräten ausgenutzt. Das Spektrum eines FM-Signals enthält also in Abhängigkeit von M und fM eine ganze Reihe von Spektrallinien mit der Amplitude gemäß Abbildung 1. Negative Amplituden entsprechen einer Phasenlage von 180°.
1.5 Einige Beispiele für FM-Spektren
Abbildung 2 zeigt die Spektren von FM-Signalen bei sinusförmiger Modulation mit der Frequenz fM. Links wird bei gleichbleibender Modulationsfrequenz der Frequenzhub Δf und damit der Modulationsindex M erhöht. Im Spektrum mit (f = 500 Hz (M = 0,5) hat der Träger die ca. 6fache Spannung der Seitenbänder entsprechend der 18fachen Leistung. Modulationsindizes unter 1 sind sinnlos, da nur die informationstragenden Seitenbänder schwächer werden, ohne daß die Bandbreite zurückgeht. Ein Anheben des Frequenzhubs Δf bis zu einem Modulationsindex M = 1 Vergrößert die Bandbreite nicht, wohl aber den Systemgewinn und damit die Signalqualität beim Empfänger.
Beim Hub (f=1kHz (M = 1) haben die 1. Seitenbänder schon mehr als die halbe Spannung des Trägers, und die 2. Seitenbänder haben gerade noch vernachlässigbare 12%. So nutzt man die Bandbreite optimal aus und hat schon einen Systemgewinn von 3.
Mit 2 kHz Hub (M = 2) sind die 2. Seitenbänder nicht mehr zu vernachlässigen, und die Bandbreite steigt auf das Doppelte an. Die 3. Seitenbänder haben 13 % der Gesamtspannung, was man gerade noch tolerieren kann. Wenn man also schon den Modulationsindex über M=1 anhebt, dann gleich auf M = 2, um die doppelte Bandbreite voll auszunutzen.
Wer die Spannung der Seitenbänder von 10 % der Gesamtspannung ganz genau nehmen will, entnimmt Abbildung 1 für die einfache Bandbreite einen zulässigen Modulationsindex M = 0,925 und für die doppelte Bandbreite M = 1,8.
Im rechten Teil von Abbildung 2 wird bei konstantem Frequenzhub von oben nach unten die Modulationsfrequenz verringert. Die Signale mit fM = 2 kHz und mit fM = 1 kHz haben die gleiche Bandbreite. Der wachsende Modulationsindex hebt die 2. Seitenbänder so weit an, daß der Rückgang von fM gerade kompensiert wird.
2. Die Bandbreite von FM
Genau genommen ist ein FM-Signal relativ breit, wenn auch die Seitenbänder höherer Ordnung sehr kleine Amplituden haben. In der Regel nimmt man als Grenze der Bandbreite eines Signals einen Wert von 10 % der Spannung bzw. 1 % der Leistung des gesamten Signals.
2.1 Die Näherungsformel
Für die Grenze des Signals bei 10% und größere Modulationsindizes gilt die bekannte Formel:
Diese Näherung stimmt halbwegs für größere Modulationsindizes, ist aber auf gar keinen Fall zahlenmäßig genau. Dementsprechend darf sie nur mit großer Vorsicht interpretiert und bei kleinen Modulationsindizes eigentlich gar nicht angewandt werden.
Beispielsweise behauptet diese Formel, daß bei einer Modulationsfrequenz von 3 kHz und 3kHz Hub die Bandbreite 12 kHz beträgt. Wir sahen bereits in Abbildung 2 bei M = 1, daß die Bandbreite nur 6 kHz beträgt.
2.2 Spektrum und Bandbreite eines Frequenzgemischs
Nun soll das von einem Frequenzgemisch herrührende FM-Signal betrachtet werden. Abbildung 2 rechts, zeigte uns schon, daß bei sinkender Modulationsfrequenz fM die Bandbreite nicht immer zurückgeht, da bei gleichbleibendem Frequenzhub der Modulationsindex ansteigt und damit die höheren Seitenbänder. Es ist daher nicht einfach ersichtlich, ob die tiefen, mittleren oder hohen Frequenzen des Gemischs letztlich die Bandbreite festlegen.
So habe ich denn in den sauren Apfel gebissen und ein "NF-Signal" mit 500 diskreten Frequenzen im Bereich 300 Hz - 3 kHz durchgerechnet. Als Frequenzhübe wurden 1, 3, 4,5 und 6 kHz angenommen, entsprechend Modulationsindizes von 0,33, 1, 1,5 und 2. In allen Abbildungen ist die Amplitude so normiert, daß die Gesamtspannung des Frequenzgemischs der Kastenhöhe entspricht. Eine Linie bei 10 % der Kastenhöhe erleichtert das Abschätzen der Obergrenze des Spektrums.
Für die Berechnungen wurden zu jeder Frequenz des Gemischs die Amplituden der Seitenbänder einer Tabelle der Besselfunktionen entnommen. Da man von unterschiedlichen Frequenzen nur die Leistung addieren darf, wurden diese Amplituden quadriert und zusammen mit der Frequenz gespeichert.
Für die Auswertung wurden von den jeweils in einem 150 Hz breiten Fenster liegenden Frequenzen die Leistungen aufsummiert. Die Summe aller Leistungen ist die Gesamtleistung, deren Wurzel als Normierungsfaktor diente. Mit ihm wurden die Wurzeln aus den Leistungen in den Fenstern multipliziert und dann grafisch aufgetragen.
Alle Berechnungen erfolgten in der Sprache AutoLISP des CAD-Programms AutoCAD, Version 13. Alle Frequenzen und Amplituden wurden als Zeichnungsobjekte gespeichert und nach der Auswertung gleich automatisch die Grafiken erzeugt.
2.3 Diskussion der Ergebnisse
Abbildung 3 zeigt das Spektrum bei einem Modulationsindex von 0,33. Das Spektrum endet bei 3 kHz, wenn auch schon bei 1,2 kHz die Amplitude weniger als 10 % der Trägeramplitude beträgt. Auf keinen Fall darf man bei dieser Frequenz abschneiden, denn das würde die höheren Modulationsfrequenzen einfach abkappen.
In Abbildung 4 sieht man den Normalfall für Amateur FM-Signale mit M=1. Das Spektrum endet bei 3 kHz. Deutlich sieht man den Abfall bei 3 und 6 kHz, den maximalen Frequenzen der 1. und 2. Seitenbänder des Frequenzgemischs.
In Abbildung 5 und 6 betragen die Modulationsindizes 1,5 und 2, und man sieht deutlich den Buckel durch die höheren Seitenbänder der niedrigeren Modulationsfrequenzen. Die Grenzen des Spektrums liegen bei 4,5 und 6 kHz, eine zufällige übereinstimmung mit dem Wert des Frequenzhubs.
2.4 Schlußfolgerungen
Für den praktischen Funkbetrieb ergeben sich folgende Schlußfolgerungen:
- FM hat keine scharf definierte Bandbreite wie z.B. SSB oder AM
- Modulationsindizes unter 1 sind geradezu widersinnig
- Optimale Verhältnisse bezüglich der Frequenzökonomie herrschen bei M = 1
- Ist genügend Frequenzbereich vorhanden, so soll man mit M bis zur zulässigen Grenze gehen, um den Systemgewinn voll auszuschöpfen
- Die bekannte Formel für die Bandbreite ist eine grobe Näherung, insbesondere bei kleinem Modulationsindex.
DL2CH, Prof Dr. Hans-Hellmuth Cuno