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Dimensionierung mittels Smith-Diagramm oder BASIC-Programm
Ein Leitungsstück oder ein Hohlleiter "transformiert" einen Wirk- oder Blindwiderstand, oder eine Kombination aus beiden, also eine Impedanz. Je nach Wellenwiderstand der Transformationsleitung wird aus einem niederohmigen Wirkwiderstand ein hochohmiger, aus einem hochohmigen ein niederohmiger. Eine induktive Blindkomponente wird in eine kapazitive, eine kapazitive in eine induktive transformiert.
Letzteres ist besonders in der Hohlleitertechnik von Interesse; hier werden in einer gewissen Entfernung von der Störstelle, also z.B. im Abstand λ/4, Schrauben in den Hohlleiterzug eingedreht. Der Hohlleiter transformiert die durch die Schraube verursachte kapazitive Wirkung (Bild 1) an den Ort der Störung als induktive Wirkung.
Bild 1: Wirkungsweise des "Sliding-Screw Tuner".
Die Wirkwiderstands Transformation durch eine λ/4-Leitung ist hinlänglich bekannt: den erforderlichen Wellenwiderstand erhält man aus der einfachen Formel
Z = √(RA × RE),
wobei RA der Abschluß-, RE der gewünschte Eingangswiderstand der λ/4-Leitung ist.
Beispiel: Vier parallele 50-Ω-Widerstände sollen an einen HF-Sender mit Ri = 50 Ω angepaßt werden (z.B. 4 Antennen im 2-m-Band). Gesucht ist Z der Transformationsleitung!
Lösung: Die vier Verbraucher bilden einen resultierenden Abschlußwiderstand von RA = 12,5 Ω. Das RE des λ/4-Trafos soll gleich dem Ri des Senders, also 50 Ω, werden. Demnach muß sein:
Z = √(12,5 × 50 Ω) = 25 Ω.
Man realisiert diesen λ/4-Trafo mittels zweier parallelgeschalteter 50-Ω-Kabel, die im 2-m-Band bei einem Verkürzungsfaktor von 0,66 eine Länge von 0,5 m × 0,66 = 0,33 m haben müssen.
Sind Z und RA gegeben, so ergibt sich RE nach Formelumstellung wie folgt:
RE = Z2/RA.
Ähnlich kann ein Eingangs-Blindwiderstand berechnet werden, wenn der λ/4-Trafo mit einem reinen Blindwiderstand XA abgeschlossen ist:
XE = Z2/XA.
Über das Vorzeichen ("Plus" bei induktivem, "Minus" bei kapazitivem Blindwiderstand) gibt die Formel keinen Aufschluß. Man muß sich eben merken, daß ein kapazitiver Blindwiderstand XA einen induktiven Blindwiderstand XE ergibt, und umgekehrt (Bild 1). Nur bei der (nicht überall beliebten) komplexen Rechnung wird das Vorzeichen mitverarbeitet!
Beispiel: Eine 12 cm lange Leitung (das ist λ/4 bei 433 MHz, wenn der Verkürzungsfaktor ca. 0,66 ist), Z = 50 Ω, wird mit C = 4,7 pF abgeschlossen. Welches L ergibt sich bei 433 MHz? (mit 4,7 pF ist Xa ca. -78 Ω)
Lösung: XE = (502/78) Ω. Das Vorzeichen "-" des kapazitiven Blindwiderstands von XA wird nicht verarbeitet. XE ist induktiv und entspricht bei 433 MHz einem L = 11,7 nH.
Sobald nun allerdings der Abschluß der Leitung eine Reihenschaltung aus Wirk- und Blindwiderstand ist, eignen sich die genannten Formeln nicht mehr. Ein übersichtliches Verfahren bietet das Smith-Diagramm, wenn man damit umzugehen vermag: die Abschluß-Impedanz, bestehend aus Wirk-und Blindwiderstand, wird auf den Wellenwiderstand Z der verwendeten λ/4-Leitung normiert und eingetragen (WA'). Die sich ergebende Eingangsimpedanz findet man im Smith-Diagramm diametral gegenüber (WE').
Beispiel: Die Eingangsbuchse eines Leistungsverstärkers ist über eine λ/4 lange Streifenleitung des Wellenwiderstands 20 Ω mit der (relativ niederohmigen) Eingangsimpedanz des Leistungstransistors verbunden, und zwar handelt es sich beispielsweise um 5 Ω in Reihe mit einem (induktiven) Blindwiderstand +4 Ω. Die beiden Widerstände bilden das RA und XA der Streifenleitung und werden durch diese auf die Eingangsbuchse transformiert. Die transformierten Werte RE und XE sind zu berechnen!
Lösung: Normierung von RA und RE (d. h. dividieren durch Z der Leitung): RA' = 5 Ω / 20 Ω = 0,25, XA' = +4 Ω / 20 Ω = +0,2. Man trägt (Bild 2) beide Werte an den krummlinigen Koordinaten des Smith-Diagramms ein (positives ist gleichbedeutend mit "induktiv", also gilt die obere Halbebene); man erhält den Punkt WA'. Diametral dazu erhält man WE'. Man beachte dabei, daß man die Gerade auch wirklich durch die Mitte, das ist der Punkt "1" auf der Waagerechten, zieht. Vom genannten Punkt "1" hat also WE' den gleichen Abstand wie WA'. An den krummlinigen Koordinaten von WE' liest man ab: RE' = 2,5 und XE' = -2. Das negative Vorzeichen deutet auf kapazitiven Blindanteil von WE' hin. Durch Multiplikation mit dem Normierungswiderstand werden die Werte "entnormiert", und man erhält die Eingangsimpedanz: RE = 2,5 × 20 Ω = 50 Ω, XE = -2 × 20 Ω = -40 Ω (RE mit XE in Reihe!).
Bild 2: Widerstandstransformation von WA nach WE mittels λ/4-Leitung
Hinweis zum vorigen Beispiel: Unter Umständen kann es zweckmäßig sein, anstelle einer Geraden durch die Mitte einen Halbkreis im Uhrzeigersinn, von WA' aus (im Bild 2 gestrichelt) um "1" zu schlagen: man kommt auf diese Weise auch zu Punkt WE'. Der Halbkreis bildet den "Transformationsweg" der Leitung ab! Das heißt, wäre die Leitung kürzer als λ/4, so wäre der Transformationsweg kürzer als der Halbkreis-Bogen. Dabei besteht zwischen Bogenlänge und Leitungslänge ein proportionaler Zusammenhang. Man kann so durch entsprechende Wahl der Leitungslänge erreichen, daß die Transformation beispielsweise auf der waagerechten Achse des Smith-Diagramms endet. Im Bild 2 ist dies der Punkt P. Das bedeutet, daß nun der Eingangswiderstand ein reiner Wirkwiderstand ist: der Punkt P liegt bei etwa 4,2, das ergibt entnormiert RE = 4,2 × 20 Ω = 84 Ω. Damit hätte man den Leistungstransistor schon recht gut an ein System mit Wellenwiderstand 50 Ω angepaßt (VSWR = 84 Ω/50 Ω = 1,7). Eventuell könnte man die Anpassung noch weiter verbessern mit einem etwas geringeren Wellenwiderstand der Streifenleitung (Vorschlag: das Beispiel mit Z = 15 Ω wiederholen!).
Konzentrische Kreise im Smith-Diagramm ersetzen eine verhältnismäßig aufwendige komplexe Berechnungsformel für die Eingangsimpedanz einer Leitung. Für den Spezialfall der λ/4-Leitung wird in Bild 3 ein BASIC-Programm gezeigt, in dem die Formel programmiert ist. Die Wirk- und Blindwiderstände werden als Zahlenwerte in Ω eingesetzt und auch ausgegeben. Es ist auch darauf zu achten, daß man kapazitive Blindwiderstände mit einem Minus-Zeichen versieht. Das Programm eignet sich jedoch nur für Reihenschaltungen. Gleiches gilt allerdings auch bei der Anwendung des Smith-Diagramms.
10 CLS 20 PRINT "EINGANGSIMPED. DES LAMBDA-VIERTEL-TRAFOS" :PRINT 30 PRINT "BY G.STADLER" 40 INPUT "GEBEN SIE WELLENWIDERSTAND EIN"; Z 50 INPUT "GEBEN SIE ADSCHLUSS-WIRKWIDERSTAND EIN"; RA 60 INFUT "GEBEN SIE ABSCHLUSS-BLINDWIDERSTAND EIN"; XA:PRINT 70 IF RA=0 AND XA=0 THEN PRINT "RE=UNENDLICH!":GOT0 150 80 ZE=Z^2/(RA^2+XA^2)^(1/2) 90 IF RA<>0 THEN GOTO 110 100 IF RA=0 THEN A=SGN(XA)*(1/2):GOT0130 110 K=XA/RA 120 A=ATN(K) 130 PRINT"RE="ZE*COS(A) 140 PRINT"XE="(-1)*ZE*SIN(A)
Bild 3: BASIC-Programm zur Berechnung der Komponenten der Eingangsimpedanz einer λ/4 langen Leitung, abhängig von der Abschluß-Impedanz. (Widerstandswerte in Ω, Ein- und Ausgabe als Zahlenwerte)
Da häufig die Genauigkeit des Rechners nicht erforderlich ist - allein schon wegen der Toleranzen der verwendeten Widerstände - kann die Verwendung des Smith-Diagramms durchaus von Vorteil sein. Dies gilt nicht zuletzt für die Anwendung in der Hohlleitertechnik. Es können dann Reflexionsfaktoren nach Betrag und Winkel ins Diagramm eingetragen werden. Eine Normierung bzw. Entnormierung entfällt, weil bei der Hohlleiterwelle nicht von einem definierten Wellenwiderstand ausgegangen werden kann.
DG7GK, Dipl.lng. Erich Stadler, Elektronikschule Tettnang.