Doppler-Effekt bei Verbindungen über passive oder aktive Reflektoren

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Diese Arbeit beschreibt die physikalischen Grundlagen zum Verständnis des Doppler-Effekts, gibt die zur Berechnung notwendigen Formeln an und beschreibt eine einfache Methode zur Berechnung des Einflusses des Doppler-Effekts bei Verbindungen über passive und aktive Reflektoren. Dazu notwendig ist ein Sub-Programm, das die Berechnung der Koordinaten des Reflektors zu einem beliebigen Zeitpunkt gestattet.

1. Prinzip

Falls auf einer Übertragungsstrecke sich Sender und Empfänger relativ zueinander bewegen, so mißt man am Empfangsort nicht die gleiche Frequenz wie am Sendeort. Diese Frequenzänderung wird als Doppler-Effekt bezeichnet (nach dem Physiker Doppler). Ein gleicher Effekt kann auch bei Schallwellen beobachtet werden, z. B. bei einem vorbeifahrenden Feuerwehrauto mit laufender Sirene. Nähert sich die Sirene dem Beobachter, so tönt sie höher als wenn sie sich entfernt. Für den akustischen Doppler-Effekt ist die physikalische Theorie recht kompliziert, da jeweils unterschieden werden muß, ob sich der Sender, der Empfänger oder das Übertragungsmedium bewegt.

Da bei elektromagnetischen Wellen keine Relativbewegungen zu einem Übertragungsmedium gemessen werden können (Versuch von Michelson, Relativitätstheorie von Einstein), müssen nicht diese drei Fälle unterschieden werden; in Betracht gezogen werden muß allein die Relativbewegung vom Sender zum Empfänger. Für Relativgeschwindigkeiten die groß sind und vergleichbar mit der Lichtgeschwindigkeit, ist die Theorie ebenfalls recht kompliziert: sowohl die Geschwindigkeitskomponente in Sichtlinie wie auch die dazu senkrecht stehende erzeugt einen Doppler-Effekt.

Für kleine Relativgeschwindigkeiten (und das sind alle bei Amateurverbindungen in Betracht kommenden Geschwindigkeiten) spielt jedoch nur die Geschwindigkeitskomponente in Sichtlinie (vs) eine Rolle für den Doppler-Effekt (Bild 1, Bild 2).

Bild 1
Bild 1.

Bild 2
Bild 2.

In der Praxis kommt der Fall von sich bewegendem Sender und Empfänger eher selten vor oder spielt keine Rolle, da der Effekt zu klein ist (siehe Beispiel weiter unten). Der Doppler-Effekt spielt jedoch eine Rolle bei Funkverbindungen über aktive oder passive Reflektoren, insbesondere über Satelliten und bei EME.(4)

2. Physikalische Grundlagen

Der Sender mit der Frequenz f bewegt sich mit der Geschwindigkeit v direkt auf einen Empfänger zu (Bild 2). Welche Frequenz mißt der Empfänger?

Es gilt: f_e = f × (1 - v /c)

Dabei ist v negativ, wenn sich Sender und Empfänger annähern. Die gemessene Frequenz ist dann höher als die gesendete Frequenz.

Beispiel:
Der Sender bewegt sich mit 120 km/h auf den Empfänger zu und sendet mit 145 MHz. Was mißt der Empfänger?

v = -120 km/h = -33,33 m/s
f = 145 MHz = 145 000 000 1/s
c = 300 000 000 m/s

f_e = 145 000 000 × 1.000000111 = 145 000 016 Hz

Die Empfangsfrequenz fe ist also um 16 Hz höher als die Sendefrequenz, eine Frequenzänderung ohne praktische Bedeutung.

Von der oben angegebenen Grundformel können die beiden folgenden Formeln abgeleitet werden:

Frequenzänderung df = f × (-v/c)
Änderung der Wellenlänge dl = l × (v/c)

Zu beachten ist, daß alle eingesetzten Größen in den gleichen Einheiten stehen, z. B. Meter, Meter / Sekunde, Hertz. Außderdem ist daran zu denken, daß v negativ einzusetzen ist, wenn sich Sender und Empfänger annähern.

Bei der Berechnung des Dopper-Effekts von Signalen über aktive oder passive Reflektoren ist das Hauptproblem die Berechnung der Geschwindigkeiten von Sender, Empfänger und Reflektor, jeweils in der Sichtlinie. Dabei bewegen sich meist Sender, Empfänger und Reflektor auf komplizierten Bahnen im Raum (Sender auf der Erde mit der Erddrehung, Satellit auf einer "schiefen" Ellipse mit variabler Geschwindigkeit und Richtung, Empfänger wieder mit der Erddrehung). Dazu kommt noch, daß bei aktiven Umsetzern die Frequenz auch durch den Umsetzer verändert wird. Diese Veränderung, in der Folge Übertragungsfunktion genannt, muß zur Berechnung der Endfrequenz ebenfalls bekannt sein.

3. Berechnungen

Die Berechnung der Endfrequenz bei der Übertragung über einen aktiven oder passiven Reflektor spielt sich deshalb nach den folgenden Schritten ab:

Sendefrequenz f_u1 (uplink, 1)
Doppler-Effekt uplink
Empfangsfrequenz f_u2 (uplink, 2)
Übertragungsfunktion
Sendefrequenz f_d1 (downlink, 1)
Doppler-Effekt downlink
Empfangsfrequenz f_d2 (downlink, 2)

Wenn Sender und Empfänger am gleichen Ort stehen, so kann die gleiche Relativgeschwindigkeit für die Berechnung des Doppler-Effekts uplink und downlink verwendet werden. Handelt es sich um einen passiven Reflektor, so heißt die Übertragungsfunktion: f_u2 = f_d1.

Wie schon erwähnt, ist eines der Hauptprobleme die Berechnung der Relativgeschwindigkeit der beteiligten Stationen in Sichtlinie. OK1DAI gibt z. B. in seiner Veröffentlichung in (1) die folgende Formel für den Doppler-Effekt bei einer EME-Verbindung (ohne Berücksichtigung des Einflusses der Ellipsenform der Mondbahn):

Bei der Berechnung des Effekts bei Satellitenverbindungen werden die Formeln noch komplizierter, da hier auch die elliptische Bahnform in Betracht gezogen werden muß.

Bei der Verwendung von Kleincomputern zur Bahnberechnung des Umsetzers kann ein einfacheres Verfahren angewendet werden.

Das Prinzip besteht darin, daß die Entfernung von Sender / Umsetzer und Empfänger / Umsetzer relativ einfach berechnet werden kann. Wird die Entfernung zu zwei verschiedenen, nicht allzu-weit auseinanderliegenden Zeitpunkten berechnet, so kann daraus die mittlere Geschwindigkeit in diesem Zeitraum abgeleitet werden, und zwar direkt die notwendige Geschwindigkeitskomponente in Sichtrichtung. Die Distanzberechnung erfolgt am einfachsten durch Umrechnung der meist bekannten Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten und darauf folgender Anwendung des (räumlichen) Pythagoras. Die dazu notwendigen Formeln werden im folgenden angegeben.

Umrechnung Polarkoordinaten in Kartesische Koordinaten:

Gegeben seien:
Eine Längeninformation L
Eine Breiteninformation B
Eine Radiusinformation R

Berechnet werden kartesische Koordinaten X, Y und Z nach:

X = R × cos B × cos L
Y = R × cos B × sin L
Z = R × sin B

Werden diese Koordinaten für den Sender und den Empfänger berechnet und die kartesischen Koordinaten voneinander subtrahiert, also:

DX = X1 - X2
DY = Y1 - Y2
DZ = Z1 - Z2

So ist die momentane Entfernung

Entfernung E = √(DX × DX + DY × DY + DZ × DZ)

Zu beachten ist dabei, daß jeweils für den Sender und den Empfänger (= Umsetzer) zueinander passende Polarkoordinaten verwendet werden, wie beispielsweise die in Tabelle 1 zusammengestellten.

Tabelle 1: Zusammenpassende Polarkoordinaten
ERDE			UMSETZER
Länge	Breite	Radius	Länge	Breite	Radius
geogr. Länge	geogr. Breite	Erdradius	Länge Subsatellitenpunkt	Breite Subsatellitenpunkt	Entfernung vom Erdmittelpunkt
lokale Sternzeit	geogr. Breite	Erdradius	Rektaszension	Deklination	geozentrische Entfernung
geogr. Länge	geogr. Breite	Erdradius	Stundenwinkel (CGHA)	Deklination	geozentrische Entfernung
0	geogr. Breite	Erdradius	lokaler Stundenwinkel	Deklination	geozentrische Entfernung

Es kann also folgender allgemeiner Rechnungsablauf angegeben werden:

Berechne Polarkoordinaten von QTH und Umsetzer
Berechne Entfernung E1:
- Umrechnung QTH in kartesische Koordinaten
- Umrechnung Umsetzer in kart. Koordinaten
- Differenz der kart. Koordinaten
- Distanz nach Pythagoras
Berechne Polarkoordinationen von QTH und Umsetzer zu einem späteren Zeitpunkt (Beispielsweise nach 60 s)
Berechne die Differenz der Entfernungen, teile durch die Zeitdifferenz, ergibt Geschwindigkeit
Berechne Doppler-Effekt der Übertragungsstrecke

Bei einem passiven Umsetzer wird die so berechnete Doppler-Verschiebung mit 2 multipliziert, bei einem aktiven Umsetzer ist getrennte Berechnung für uplink, Übertragung im Umsetzer und downlink erforderlich.

4. Anwendungsbeispiele

Auf der Grundlage der oben entwickelten Formeln wurde der Doppler-Effekt für EME-Verbindungen und AMSAT-OSCAR 10 berechnet.

Die Berechnungen für EME wurden jeweils nach den obigen Formeln sowie nach der angegebenen Formel von OK1DAT durchgeführt. Die Resultate stimmen weitgehend überein, die maximalen Abweichungen betrugen einige 10 Hz für eine Sendefrequenz von 144 MHz (Doppler-Shift +350 bis -350 Hz). Diese Abweichungen stammen daher, daß der Einfluß der Ellipsenform der Mondbahn bei der Berechnung nach OK1DAT nur annäherungsweise berücksichtigt wurde.

Bei der Berechnung des Effektes bei OSCAR-10-Verbindungen stand keine alternative Berechnungsmethode zur Verfügung. Hingegen beträgt der Doppler-Effekt bei diesen Verbindungen bis über 3000 Hz. Diese Frequenzverschiebung kann auch mit Amateurmitteln gemessen werden. Entsprechende Messungen wurden durchgeführt und ausgewertet (Bilder 3 und 4). Die Berechnungen sind so genau, daß damit sogar (in bescheidenem Rahmen) die Bahndaten von OSCAR 10 angepaßt werden konnten.

Bild 3
Bild 3: Vergleich von gemessener (ausgezogene Linie) und berechneter (punktierte Linie) Dopplerverschiebung bel OSCAR 10 vor der Anpassung. Der Satellit kommt gegenüber der Berechnung verfrüht.

Bild 4
Bild 4: Gleiche Darstellung nach Anpassung der Satellitendaten (Zeitverschiebung um 10 Minuten).

5. Literatur

OK1DAI, ohne Titel, handelt vom Doppler-Effekt bei EME, DUBUS Buch # 2, p 28 ff
Autorenteam: Meyers Handbuch über das Weltall, Mannheim, 1974
O. Montenbruck: Grundlagen der Ephemeridenrechnung, Verlag Sterne und Weltraum, München, 1984
Gerber, P., HB9BNI: EME für jedermann? "old man" 9 / 1986, Seite 23 - 26