Complexe getallen
In de wiskunde zijn complexe getallen een uitbreiding van de reële getallen. Zoals de reële getallen overeenkomen met punten op een rechte lijn, correspondeert elk complex getal met een punt uit een vlak. Een complex getal is zodoende een paar reële getallen a en b, dat gewoonlijk weergegeven wordt als a + bi. Hierin is i (soms wordt ook j gebruikt) een bijzonder complex getal, de imaginaire eenheid, met als eigenschap i2 = -1. Met complexe getallen in de vorm a + bi kan gewoon gerekend worden, met de extra rekenregel dat overal i2 vervangen wordt door -1.
De schrijfwijze z = a + bi laat zien dat een complex getal in feite een lineaire combinatie is van een reëel getal en een imaginair getal.
De extra mogelijkheden die het rekenen met complexe getallen biedt, hebben geleid tot allerlei nuttige toepassingen in vooral alles wat met trillingen en golven te maken heeft, zoals het grootste deel van de natuurkunde, de elektrotechniek, de meet- en regeltechniek en vele andere technische disciplines.
Imaginair getal
In de wiskunde is een imaginair getal een complex getal waarvan het kwadraat een negatief reëel getal is. Een imaginair getal kan geschreven worden als bi, waarin b een reëel getal is en i de imaginaire eenheid voorstelt waarvoor geldt: i2= -1.
Het werken met complexe getallen is in de 16e eeuw ontwikkeld door Gerolamo Cardano. Veel wiskundigen wilden er echter niet aan. Dit valt te verklaren uit het feit dat de wiskunde lang is gedomineerd door de meetkunde. De reële getallen hebben daarin een directe interpretatie (namelijk als de waarden van afstanden tussen punten), maar complexe getallen in het algemeen niet. René Descartes noemde ze in zijn werk La Géométrie ("de meetkunde") uit 1637 dan ook schamper "imaginaire" getallen, en deze naam is blijven hangen. Sindsdien zijn er echter veel toepassingsgebieden gevonden, nl. bij de beschrijving van trillingen en golven.
Inleiding
Complexe getallen voorzien in de behoefte oplossingen te hebben van alle (algebraïsche) vergelijkingen, dus bijvoorbeeld ook vergelijkingen van de vorm x2 = c voor negatieve getallen c.
Het is voldoende een denkbeeldige (imaginaire) oplossing, aangeduid met i (van "imaginair", ingebeeld) te definiëren van de vergelijking x2 = -1. Men stelt dus: deze vergelijking heeft per definitie een oplossing, en deze oplossing wordt i genoemd. Door de reële getallen uit te breiden met dit denkbeeldige getal i, waarmee verder op de normale manier gerekend wordt, ontstaat de verzameling 
van de complexe getallen. Deze uitbreiding bevat met i vanzelf ook alle uitdrukkingen van de vorm a + bi waarin a en b reële getallen zijn. Hiermee is het gewenste resultaat bereikt: binnen de complexe getallen is elke algebraïsche vergelijking oplosbaar.
Geschiedenis
De formule van de Italiaanse wiskundigen Scipione del Ferro en Niccolo Fontana Tartaglia voor de oplossingen van de derdegraadsvergelijking plaatste de wiskundigen van de zestiende eeuw voor een enorm nieuw probleem. Wanneer zo'n vergelijking drie verschillende (reële) oplossingen heeft, komen in die formule namelijk wortels voor uit negatieve getallen. En in die tijd waren wortels uit negatieve getallen nog niet gedefinieerd. Het is geen wonder dat de naam 'imaginaire getallen' snel gevonden was, en de gewone getallen heetten vanaf toen 'reëel'. Aan het einde van de 18e eeuw legden de grote wiskundigen Leonhard Euler en Carl Friedrich Gauss de basis voor de getallenleer en de Complexe functietheorie waarmee dit probleem en vele andere zouden worden opgelost.
Door gebruik te maken van imaginaire getallen en reële getallen, wordt de verzameling van complexe getallen gedefinieerd als: 
Definitie
Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, waarin a en b beide reële getallen zijn en i een nieuw getal voorstelt, de imaginaire eenheid, met de eigenschap (rekenregel): i2=-1. Rafael Bombelli, de bedenker van de imaginaire getallen, stelde de rekenregels op voor complexe getallen. Hierbij stelde hij als axioma de genoemde eigenschap van het complexe getal i. Het getal a noemt men het reële deel en het getal b het imaginaire deel van het complexe getal a + bi. De verzameling van de complexe getallen wordt genoteerd als.
De reële getallen vormen een deel van de complexe getallen; het zijn de complexe getallen met imaginair deel gelijk aan 0. Getallen waarvan het reële deel 0 is noemt men zuiver imaginair.