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Theoretische Betrachtung von Empfängerdaten und -großen 1

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Amateurfunkgeräte werden inzwischen mit einem hohen elektronischen Bedienungskomfort ausgestattet, während die elementaren Anforderungen wie Empfängerdynamikbereich bzw. Großsignalfestigkeit in ihrer Qualität fast stagnieren. Hauptgrund hierfür sind physikalische Gegebenheiten der verwendeten Bauelemente, die in der Empfängertechnik natürliche Grenzen setzen.

Dieser Aufsatz beschäftigt sich mit theoretischen Grundlagen der Empfängertechnik und untersucht Begriffe und Daten, die auf den Bändern zwar in aller Munde sind, aber kaum hinterfragt oder gar verstanden werden.

Themen sind hierbei Mischung, Kreuzmodulation und Intermodulation, Empfängerdynamikbereich und Rauschen sowie Empfängerempfindlichkeit.

Zur objektiven Beschreibung dieser Größen ist ein Mindestmaß an Mathematik notwendig, auf das in diesem Rahmen nicht verzichtet werden kann. Die theoretischen Grundlagen, die hier beschrieben werden, sind seit Jahrzehnten bekannt und an dieser Stelle lediglich auf die Amateurfunktechnik reduziert worden.

Mischung

Bei der Mischung werden zwei Signale unterschiedlicher Frequenz miteinander verknüpft. Am Ausgang des Mischers erscheinen je nach übertragungsfunktion Vielfache sowie Differenzen und Summen der Vielfachen der Eingangssignalfrequenzen.

Bild 1
Abb. 1: Additive Mischung mit einem Sperrschicht-FET. Die überlagerten Eingangsspannungen werden an der nichtlinearen Kennlinie des FET gemischt.

Man unterscheidet zunächst zwischen additiver und multiplikativer Mischung. Beim additiven Mischer werden nach Abb. 1 die beiden Eingangssignale direkt zusammengeführt, so daß sie sich zunächst überlagern.

Das überlagerte Signal, in dem noch keine neuen Frequenzen vorhanden sind, wird dem Mischer zugeführt, einem Bauelement mit nichtlinearer Kennlinie (Diode, bipolarer Transistor, FET). Nur die nichtlineare Kennlinie (n-ten Grades) vermag aus den überlagerten Eingangssignalen Signale mit neuen Frequenzen zu erzeugen, die ganz bestimmten mathematischen Gesetzen folgen.

Bei der sogenannten multiplikativen Mischung wird der Mischer von zwei "parallel" zugeführten Eingangssignalen unterschiedlicher Frequenz gesteuert. Sie werden getrennten Steuerelektroden des Mischers zugeleitet.

Während die Kennlinie des additiven Mischers ihre (nichtlineare) Form beibehält, wird die Kennlinie bei der multiplikativen Mischung in ihrer Steilheit durch eines der beiden zu mischenden Signale gesteuert, so daß die Verstärkung des einen Eingangssignals nach Abb. 2 durch das andere beeinflußt wird.

Bild 2
Abb. 2: Multiplikative Mischung mit einem Dual-Gate-MOSFET. über G2 wird die Steilheit der Eingangskennlinie gesteuert.

Im Gegensatz zum additiven Mischer kann die steuerbare Kennlinie beim multiplikativen Mischer linear verlaufen (es wäre sogar wünschenswert), da die Steilheitsveränderung durch das zweite Eingangssignal geschieht. Allerdings besitzen alle Kennlinien Nichtlinearitäten, so daß diese Tatsache nur theoretischer Natur ist.

Beim Dual-Gate-MOSFET nach Abb. 2 wird die Steilheit über G2 gesteuert. UG2 ist als Parameter gezeichnet worden, wodurch die unterschiedliche Steilheit zum Ausdruck kommt.

Analyse der Mischprodukte

Durch die Nichtlinearitäten der Mischerkennlinie entsteht beim additiven Mischvorgang ein Signalspektrum sehr unterschiedlicher Frequenzen. Zur Analyse dieser Mischprodukte muß die übertragungsfunktion des Mischerbausteins bekannt sein, die sich durch den Verlauf der Kennlinie beschreiben läßt.

Allgemein besteht die Kennlinie in ihrer nichtlinearen Form aus linearen, quadratischen, kubischen und Anteilen höherer Ordnung. In der Mathematik spricht man von einem Polynomverlauf, der hier die folgende Form hat:

Eq 1

ue ist die überlagerte Eingangsspannung, die die Summe aus den zu mischenden Eingangssignalen unterschiedlicher Frequenz darstellt:

Eq 2

Setzt man (1) in (2) ein, erhält man den Kennlinienverlauf in seiner relativ komplexen mathematischen Form. Beschränkt man sich bei einer weiteren Betrachtung auf die ersten drei Glieder von (1), dann wird: (3)

Eq 3

Aus dieser bis zum kubischen Glied reduzierten Beziehung lassen sich die Frequenzen bestimmen, die bei der Mischung der überlagerten Eingangssignale an der beschriebenen Kennlinie entstehen. Hierzu müssen die Sinusfunktionen der einzelnen Glieder in (3) mit Hilfe der sogenannten Additionstheoreme aufgelöst werden.

Auf diese Rechnung wird allerdings verzichtet, weil nur von Interesse ist, welche Frequenzen am Mischerausgang erscheinen.

Neben den beiden Grundfrequenzen w1 und w2, die im linearen Teil enthalten sind, erscheint ein umfangreiches Spektrum weiterer Harmonischer und Mischprodukte:

Eq 4

Als Mischprodukte findet man hierbei (ω1 ± ω2) aus dem quadratischen Glied (2. Ordnung) und (2 ω1 ± ω2) und (ω1 ± 2 ω2) aus dem kubischen Glied (3. Ordnung)

Diese Mischprodukte kann man in der Form

Eq 5

schreiben, wobei p und q ganze Zahlen sind. Die Summe aus p und q gibt die Ordnung der Mischprodukte an.

Bei einer Kennlinie, die maximal kubische Anteile enthält, kann p + q natürlich nur 3 werden.

Bei einer Kennlinie n-ten Grades wird p + q maximal n, wobei zur Bestimmung aller Mischprodukte alle Permutationen (Kombinationsmöglichkeiten) berücksichtigt werden müssen.

Für n = 4 erhält man am Mischerausgang folgende Frequenzen:

ω1, 2 ω1, 3 ω1, 4 ω1Grundfrequenzen
ω2, 2 ω2, 3 ω2, 4 ω2und Harmonische
(ω1 ± ω2)Mischprodukte 2. Grades
(2ω1 ± ω2), (ω1 ± 2 ω2)Mischprodukte 3. Grades
(3 ω1 ± ω2), (2 ω1 ± 2 ω2), (ω1 ± 3 ω2)Mischprodukte 4. Grades

Man kann sich an dieser Vielfalt bereits vorstellen, welch hohe Anzahl von Mischfrequenzen entsteht, wenn alle Permutationen bei einer Kennlinie höherer Ordnung (z. B. der 15.) untersucht werden.

Für den Mischvorgang selber ist normalerweise die Summe oder die Differenz der beiden Eingangssignalfrequenzen fl und f2 von Interesse. Alle anderen Frequenzen, die beim Mischen entstehen und deren Signale am Ausgang mit unterschied licher Amplitude erscheinen, sind unerwünscht und müssen nach Möglichkeit mit Selektionsmitteln unterdrückt werden.

(ω1 ± ω2) bzw. (f1 ± f2) entstehen aus dem Produkt von sin ω1t × sin ω2t. Dieses Produkt wird am quadratischen Teil der Kennlinie gebildet, an dem die Eingangsspannung ue quadriert wird:

Eq 6

Zum Ausmultiplizieren wendet man die binomische Formel

Eq 7

an, so daß man für (6)

Eq 8

erhält. In diesem Ausdruck findet man das gewünschte Mischprodukt. Nur allein aus diesem Grunde soll die Kennlinie des Mischerbauelements möglichst quadratische Form haben, damit das quadratische Glied und damit das angestrebte Ausgangssignal den maximal möglichen Amplitudenanteil erhält.

Bild 3
Abb. 3: Multiplikative Mischung mit einem Analog-Multiplizierer

Alle anderen Anteile höherer Ordnung sind für den Mischvorgang überflüssig und stören sogar im ungünstigsten Fall, wenn man sie nicht unterdrücken kann. Der multiplikative Mischer ist im Idealfall ein reiner Multiplizierer, in dem das Produkt der Eingangssignale gebildet wird. In Abb. 3 ist dies symbolisch dargestellt.

Die übertragungsform für diesen Mischer ist:

Eq 9

Hierin ist k lediglich eine Konstante, mit der das Produkt aus x und y zusätzlich multipliziert wird. Bei Verstärkung ist k größer und bei Dämpfung kleiner als 1.

Setzt man in (9) die Eingangsspannungen des Mischers ein, ist

Eq 10

Hierin ist allein das Produkt der beiden Sinusfunktionen enthalten, aus dem sich nach der Multiplikationsregel nur die Frequenzen (ω1 ± ω2) bzw. (f, ± f2) ergeben.

Dies ist der Idealfall der Mischung, da alle anderen unerwünschten und auch störenden Mischprodukte und Harmonischen erst gar nicht erzeugt werden.

Leider ist dies bei den üblichen multiplikativen Mischern nicht realistisch. Die Eingangskennlinien beider Steuerelektroden sind nichtlinear - es sind auch Polynome, so daß hierdurch Harmonische der Grundfrequenzen entstehen, die wiederum miteinander multipliziert werden. Zudem steht die Steilheitssteuerung durch die zweite Elektrode nicht im proportionalen Verhältnis zur Steuerspannung, sondern entspricht wiederum dem nichtlinearen Kennlinienverlauf, wodurch ebenfalls unerwünschte Produkte erzeugt werden.

Vergleicht man die additive und die multiplikative Mischung, lassen sich für beide Schaltungsarten Vor- und Nachteile angeben.

Die multiplikative Mischung wurde vor allem in der Röhrentechnik mit Hexoden, Heptoden und Oktoden (ECH 81, EK 90, 6BE8 usw.) angewandt. In schaltungsähnlicher Form ist sie in der Halbleitertechnik vor allem mit Dual-GateMOSFETs angewandt worden.

Betreibt man den multiplikativen Mischer im möglichst linearen Bereich der Kennlinien, lassen sich die unerwünschten Mischprodukte bis zu einem Minimum reduzieren. Weiterhin ist die Entkopplung der beiden Eingangssignale von Vorteil, da sie über getrennte Steuerelektroden zugeführt werden. Ein wesentlicher Nachteil der multiplikativen Mischung ist das durch die Stromverteilung erzeugte hohe Rauschen, das besonders für sehr hohe Empfangsfrequenzen ungünstig ist, da es die Empfängerempfindlichkeit reduziert. Schließlich ist die Mischverstärkung geringer als bei der additiven Mischung.

Bei der additiven Mischung kann man von kleinerem Rauschen ausgehen. Der Schaltungsaufwand ist geringer, da jédes nichtlinear arbeitende Bauelement (mit möglichst großem quadratischem Anteil) als Mischer geeignet ist. Das stärkere Mitziehen des Oszillators ist durch die PLL-Technik inzwischen ohne Bedeutung.

Bild 4
Abb. 4: a) Schaltung des Balance-oder Gegentaktmischers; b) und c) Schalterfunktion der Dioden bei unterschiedlicher Polarität von Ut; d) Um als mit Ut getastete Sinusspannung Us (Ausgangssignal des Mischers)

Balancemischer - Schaltmischer

In der modernen Empfängertechnik ist vor allem auf die Mischer ein besonderes Augenmerk gelegt worden, da dort der Dynamikbereich entscheidend bestimmt wird. Die eingesetzten Hochstrommischer sind Schaltmischer, bei denen Dioden oder FETs durch das steuernde Signal voll durchgeschaltet werden, wobei die Schaltwege Widerstandswerte von 1 Ohm im geschlossenen und mehreren MOhm im offenen Zustand haben. Man erhält dadurch eine extrem hohe Entkopplung zwischen den Signalquellen und einen relativ hohen Intermodulationsabstand.

Solche Schaltmischer sind in der Nachrichtentechnik natürlich ein alter Hut und dort als sogenannte Balance- oder auch Gegentaktmischer bekannt. Sie werden vor allem zur Frequenzumsetzung in der kommerziellen Trägerfrequenztechnik und in der Amateurfunktechnik seit langem als Modulatoren in der SSB-Signalaufbereitung eingesetzt. Mit diesen speziellen Mischerschaltungen lassen sich die Eingangsfrequenzen und ihre Oberwellen sowie z. T. andere unerwünschte Mischprodukte im Ausgangsspektrum unterdrücken.

Abb. 4 zeigt den Gegentakt- oder Balancemischer. Das Signal der Eingangsfrequenz fs wird im Rhythmus von ft getastet. Dabei übernehmen die Dioden eine Schalterfunktion. Sie werden immer dann leitend, wenn an der Anode das positivere Potential von Ut liegt (Abb. 4 b bis d). Ist die Amplitude des Schaltersignals Ut groß gegenüber der Schwellspannung der Dioden, entspricht dies der Steuerung der Dioden mit einem nahezu rechteckförmigen Signal der Frequenz ft.

Hierdurch wird im Mischer das Produkt aus der sinusförmigen Spannung Us mit der Frequenz fs und dem Rechtecksignal Us mit der Frequenz ft gebildet.

Auch hier kann nur die Mathematik die eindeutige Erklärung zeigen. Es sei das sinusförmige Signal us:

Eq 11

Der Cosinus wird hier nur eingesetzt, weil die Rechnung anschließend einfacher wird. Die Funktion unterscheidet sich lediglich durch eine Phasenverschiebung um 90 Grad.

Das schaltende Rechtecksignal läßt sich nach Fourier beschreiben als:

Eq 12

Am Mischerausgang erscheint das Produkt um aus u. und u" so daß man vereinfacht erhält:

Eq 13

Setzt man (11) und (12) in (13) ein, wird:

Eq 14

Die Werte K, bis K4 sind lediglich Werte für die Signalamplituden, die hier aber ohne Interesse sind, weil nur die resultierenden Frequenzen für die Untersuchung von Bedeutung sind.

Durch Selektion am Mischer wird nur das erste Glied aus (14) mit den Grundfrequenzen genutzt, also:

Eq 15

Multipliziert man nun (15) nach dem Additionstheorem für zwei Cosinusfunktionen aus, dann wird:

Eq 16

Das Ausgangssignal enthält also nur die Differenz und die Summe der Eingangssignalfrequenzen. Die Grundfrequenz-signale sind unterdrückt. Das ist übrigens auch das Prinzip des Balancemodulators in der SSB-Aufbereitung, wo man auf diese Weise die Trägerunterdrückung erreicht und am Ausgang nur das Summen- bzw. Differenzsignal aus NF und Träger erhält, die dort oberes und unteres Seitenband genannt werden. Es wäre ein leichtes, nun auch noch mathematisch zu zeigen, daß die Glieder höherer Ordnung aus (14) bei der Multiplikation im Balancemischer die Grundfrequenzen 3 ω, 5 ω usw. verlieren, also nur deren Differenzen und Summen am Mischerausgang erscheinen. Aber ich will weder den Leser, der sich bis hierher durchgekämpft hat, noch den armen Setzer dieses Artikels zur Verzweiflung bringen.

Kurz gesagt, am Ausgang erscheint die Reihe von Frequenzen:

ft±fs, ft±3fs, 3ft±fs, ft±5fs, 5ft±fs usw.

Wichtig ist natürlich letztendlich bei jeder Mischerschaltung, daß die Eingangssignalamplituden so gewählt werden, daß der Mischer im optimalen Kennlinienbereich arbeitet. Aber Schaltungstechnik ist nicht Thema dieser Arbeit.

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DJ6HP, Hans-Joachim Pietsch.