Filters en filters 1
Wat is eigenlijk een filter? Stellen we deze vraag aan een willekeurig iemand, dan is de kans vrij groot dat we als antwoord krijgen: een papiertje dat in het houdertje gaat van een koffiezetapparaat. In zekere zin is dit een filter, het houdt n.l. de gemalen koffiebonen uit het aftreksel wat we plegen te drinken. Wat we willen hebben gaat er doorheen, de rest van het aangebodene blijft achter in het filter.
Is nu de werking van een elektronisch filter hiermee te vergelijken? Op misschien enkele uitzonderingen na is het antwoord neen. Een elektronisch filter absorbeert niets, aangeboden energie die niet overeenstemt met de werkfrequentie van het filter wordt niet in de filter vernietigd, doch gewoonweg gereflekteerd naar de bron. Zou ons koffiefilter als een elektronisch filter werken, dan zouden er geen deeltjes achterblijven op 't papier, dit zou keurig wit blijven, ongeacht de hoeveelheid koffie die ermee gezet zou worden. Het is uiteraard niet de bedoeling om de intelligentie van de lezers te onderschatten, maar voor sommigen is dit misschien iets heel nieuws en is het alleen maar verwarrend als we meteen met de deur in huis vallen.
De werking van een elektronisch (elektrisch) filter zullen we laten zien aan de hand van een voorbeeld.
Fig 1
De schakeling uit figuur 1 toont een passief filter en heeft een resonantiefrequentie
Voor de aangegeven waarden vinden we dan
Berekenen we nu m.b.v.
de schijnbare weerstand, of impedantie, voor een aantal frequenties, dan ontstaat tabel I. Hierin is de impedantie berekend voor 1 resp. 2 oktaven onder en boven de resonantiefrequentie. (Een oktaaf is per definitie een frequentieverhouding van 2 op 1.)
| Freq. (Hz) | Impedantie (Ω) |
|---|---|
| 150 | 1243 |
| 300 | 497 |
| 600 | 10 |
| 1200 | 497 |
| 2400 | 1243 |
Wat leren we hier nu uit? We zien dat we een spanning met konstante amplitude doch met verschillende frequenties op de schakeling aansluiten, de stroom door de schakeling zijn grootste waarde bereikt bij de resonantiefrequentie. Zouden we b.v. bij 300 Hz dezelfde stroom door het seriecircuit willen sturen, dan is daarvoor een circa 50x hogere spanning nodig. Sluiten we een signaalgenerator aan op de schakeling met een amplitude van 1 Volt en meten we de spanning over de 10 Ω weerstand bij de aangegeven frequenties, dan krijgen we, als we dit in een grafiek uitzetten, het volgende beeld, figuur 2.
Fig 2
We zien hieruit, dat zowel bij lagere als hogere frequenties dan de resonantiefrequentie de spanning over de weerstand snel afneemt en des te kleiner is naarmate de frequentie verder afligt van de resonantie-frequentie. De frequentie wordt meestal op een logarithmische schaal uitgezet, omdat het niet praktisch is om een uitgebreid frequentiegebied lineair uit te zetten. We zien dus dat het mogelijk is met eenvoudige middelen een filter te maken, in dit geval een banddoorlaatfilter.
Er is echter een praktisch bezwaar aan verbonden, een dergelijk filter wordt al spoedig volumineus en het is lastig de zelfindukties en kapaciteiten op de juiste waarde te brengen. Vandaar dat we, zeker bij lage frequenties (grote spoelen en forse condensatoren) liever overgaan op het gebruik van aktieve filters.
Onder een aktief filter verstaan we een filter waarbij gebruik gemaakt wordt van een aktief element om de kenmerkende eigenschappen van het filter te verbeteren. De meeste hiervan kunnen afgeregeld worden met een relatief goedkope potentiometer. Nu bestaan er legio uitvoeringen van aktieve filters, we zullen ons beperken tot de meest eenvoudige. Voor b.v. state-variable filters of het bekende Sallen-Key filter wordt verwezen naar de literatuur aan 't eind van dit artikel. Een Sallen-Key filter dient b.v. pijnlijk nauwkeurig afgeregeld te worden en is praktisch niet te verwezenlijken met standaard componenten. Allereerst dienen we een aantal filtertypen aan te geven. De meest gebruikelijke zijn hoogdoorlaatfilter (high-pass), laagdoorlaatfilter (low-pass), banddoorlaatfilter (band-pass) en het bandsperfilter (band-stop). Een filter dat zeer effektief een bepaalde frequentie onderdrukt en zeer smal is, wordt aangeduid met notch-filter. Indien dit goed gedimensioneerd is, is dit slechts enkele Hz's, of nog minder, breed. De frequentie waarbij het signaal 3 dB verzwakt op de uitgang van het filter komt (bij een laagdoorlaat- of hoogdoorlaatfilter) wordt de afsnijfrequentie (cut-off-frequency) genoemd en aangeduid met fc. Een banddoorlaatfilter, bandsperfilter en notch-filter vertonen twee van dergelijke punten, zowel links als rechts van de resonantie-frequentie f0. Deze worden meestal aangeduid met f1 en f2, de afstand tussen Ω en f2 wordt de doorlaatband resp. stopband van het filter genoemd.
Ter verduidelijking is een en ander nog in fig. 3a en 3b weergegeven.
Zoals reeds gezegd is het afregelen van LC filters lastig en zit men met de juiste aanpassingen ervan zowel wat betreft ingangsals uitgangsimpedantie. Bij aktieve filters levert dit meestal geen enkel probleem op en kan men dit naar believen aanpassen. Voorts is het mogelijk de filters ook nog te laten versterken. Een nadeel is de ervoor benodigde voeding. In principe is het mogelijk een RC filter te maken zonder gebruik van aktieve elementen, de beperking komt alras naar voren, de maximaal bereikbare kwaliteitsfaktor Q is slechts /. Juist zoals men dat vroeger placht te doen bij zgn. Q-multipliers is de Q te verhogen door geringe positieve terugkoppeling. Ook weer niet teveel, anders gaat de zaak oscilleren. Wanneer we figuur 4 bekijken zien we binnen de stippellijnen een passief RC filter, in dit geval een banddoorlaatfilter. De benodigde formules, waarover straks meer, worden naast de filters aangegeven.
Fig 4
Achter dit filter is een operationele versterker geplaatst, positieve terugkoppeling vindt plaats via R1. De mate waarin dit gebeurt hangt af van de versterking van de operationele versterker. Deze wordt bepaald door de verhouding van R5 en R4. We hebben hier gekozen voor een Opamp als aktief element, het gaat natuurlijk ook met diskrete componenten zoals transistors. Hetzelfde filter is als zodanig weergegeven in figuur 5. Hierin vinden we alles weer terug uit figuur 4. De weerstand R2 wordt nu gevormd door de parallelschakeling van R2' en R2", welke hier tevens dienen voor de instelling van T1. Aangezien in figuur 4 het signaal aangesloten is op de niet-inverterende ingang, is het uitgangssignaal hiermee in fase, om dit te bereiken met een schakeling van figuur 5 is dus nog een tweede versterkertrap nodig, deze wordt gevormd met T2. De versterking van de schakeling wordt bepaald door de keuze van de weerstanden R4 t/m R7 en hebben hetzelfde doel als de weerstanden R4 en R5 in figuur 4. Een Opamp is echter vaak handiger, hierbij hoeven we geen weerstanden voor de diverse versterkertrappen te berekenen, voorts is de open-lus versterking en ingangsimpedantie ervan veel groter.
Fig 5
Voor we verder gaan, eerst even dit. Bij de schakelingen zijn alleen de formules gegeven voor de berekening en enig kommentaar. Afleiding van de formules is om een aantal redenen achterwege gelaten en wel omdat:
- daarvoor een grondige kennis van wiskunde verondersteld wordt;
- het vrij veel ruimte in beslag neemt waardoor het geheel onoverzichtelijk wordt;
- we dit niet nodig hebben om de filters te kunnen realiseren.
De volgende symbolen worden gebruikt:
R weerstand in kΩ
C kapaciteit in µF
f frequentie in kHz
f0 centrale frequentie in kHz
f1 laagste -3 dB punt in kHz
f2 hoogste -3 dB punt in kHz
Q kwaliteitsfaktor fo
B bandbreedte in kHz (= Q )
A versterking bij centrale frequentie
Banddoorlaatfilters
We keren terug naar de schakeling van figuur 4. Dit is zoals gezegd een aktief RC banddoorlaatfilter.
Veronderstel we willen een 1 kHz banddoorlaatfilter maken met een -3 dB bandbreedte van 600 Hz, d.w.z. 300 Hz beneden resp. boven de centrale frequentie.
Zodoende is f1 = 0,7 kHz en f2 = 1,3 kHz.
De bandbreedte 
, hieruit kunnen we Q berekenen:
Hiermede kunnen we de verhouding van R5 en R4 berekenen, immers
Het gaat hier inderdaad om de verhouding van deze twee weerstanden, de werkelijke waarden zijn niet belangrijk.
Kiezen we R4 = 15 kΩ, dan wordt dus R5 = 2,152 x 15 kΩ = 32,28 kΩ.
Is 
, dan betekent dit dat de term 
moet zijn, ofwel Q is oneindig.
In dit geval ontstaat een oscillator, de schakeling zal dan een blokgolf afgeven, omdat aan beide zijden de versterker vast zal lopen, met de frequentie van 1 kHz.
Vervolgens kunnen we een waarde voor R of C aannemen en m.b.v. de formule 
de ander berekenen.
Stel we kiezen C = 0,01 µF. Voor R vinden we dan 
Voor de spanningsversterking vinden we 
We kunnen nu de volgende schakeling maken, figuur 6. Voor dit doel leent zich uitstekend het IC 741.
Fig 6
In plaats van R4 en R5 als vaste weerstanden uit te voeren hebben we gebruik gemaakt van een potmeter.
Staat deze in het midden, dan is dit overeenkomstig onze berekening, R4 is dan 10k + 5k = 15k en R5 = 27k + 5k = 32k. Het voordeel hiervan is dat de bandbreedte nu regelbaar is.
Staat de loper onderin, dan is dus R4 = 10k en R5 = 37k.
is dan groter dan 3 en de schakeling zal zeker gaan oscilleren.
Is de loper bovenaan, dan is R4 = 20k en R5 = 27k, zodat 
en vinden we voor Q dus 
De bandbreedte wordt dan 
d.w.z. 
en 
.
Behalve de bandbreedte is hiermee ook de versterking binnen bepaalde grenzen in te stellen. Willen we echter de centrale frequentie variëren, dan zullen we onze toevlucht moeten nemen tot een drievoudige potentiometer om de weerstanden R1 t/m R3 geheel of gedeeltelijk te vervangen. Probeer zo'n ding maar eens te krijgen met een goede gelijkloop. De frequentiekarakteristiek van dit filter is gegeven in figuur 7. De afwijking t.o.v. de berekening ligt in de spreiding van de componenten. Willen we een afstembaar banddoorlaatfilter hebben, dan kunnen we beter de volgende schakeling gebruiken. Hierbij is slechts een potentiometer nodig, figuur 8.
Fig 7
Fig 8
Ondanks zijn eenvoud is dit een aardig filtertje, zeer geschikt voor b.v. CW. De belangrijkste eigenschap van dit filter is dat de centrale frequentie f0 gevarieerd kan worden zonder dat de versterking van het filter verandert. De kwaliteitsfaktor Q verandert ook, maar zodanig dat de bandbreedte voor elke instelling konstant blijft.
Om een dergelijk filter te berekenen kiezen we eerst een bandbreedte B, de gewenste versterking A en de laagste en hoogste frequentie waartussen we het filter willen kunnen variëren. We kiezen b.v. 350 Hz en 2000 Hz (0,35 kHz en 2 kHz) met een bandbreedte van 150 Hz (0,15 kHz). De versterking A kiezen we I. Als kapaciteitswaarde voor C nemen we b.v. 0,01 µF.
Voor R2 vinden we dan: 
en voor 
= 106,10 kΩ.
Voor het laagste frequentiebereik f0 = 0,35 kHz vinden we voor R3 de waarde
en voor de hoogste frequentie f0 = 2 kHz
Krijgen we een negatieve waarde voor R3 dan is of de versterking te hoog gekozen of de onderfrequentie te laag en moeten we een nieuwe berekening maken.
Fig 9
We kunnen daarmee de volgende schakeling realiseren, figuur 9. Hierbij is gekozen voor standaard waarden die zo dicht mogelijk in de buurt liggen. Hierdoor is niet het gewenste bereik haalbaar, theoretisch varieert het nu van 356 Hz tot 1910 Hz, de afwijking is dus gering. In figuur 10 zijn de frequentiekarakteristieken gegeven voor een drietal standen van de potmeter.
Fig 10
Bandsperfilters
Fig 11
Met behulp van het laatst besproken banddoorlaatfilter kan een interessante schakeling opgebouwd worden, nl. die van figuur ll. Achter het bandfilter is met een tweede Opamp een inverteerschakeling gemaakt, door keuze van de schakelaarstand heeft men de mogelijkheid tot banddoorlaat of bandsper. De componenten worden met de formules uit figuur 8 berekend. Met de potmeter (liefst 10 of 20 slags) wordt de notch-diepte ingesteld. Onderdrukking van meer dan 40 dB van de centrale frequentie is haalbaar in de bandsperstand.
Willen we slechts een frequentie zeer sterk onderdrukken, dan kunnen we hiervoor gebruik maken van een zgn. Twin Tee notch-filter (figuur 12). Deze filters werken uitstekend, hebben bij de -3 dB punten een zeer kleine bandbreedte en de centrale frequentie kan tot meer dan 60 dB verzwakt worden. Echter, er is een maar aan, een dergelijk filter werkt alleen goed bij exacte waarden van de componenten. Wijken deze te veel af van de berekende waarden, dan wordt het filter maar matig. B.v. willen we een sperfilter maken voor 50 Hz dan dient het produkt R1C1 = 0,003183 te zijn. Nemen we een condensator van 0,33 µF (deze moet dan zeer weinig hiervan afwijken), dan betekent dat een weerstand van 9,6457 kΩ. Nogmaals, deze filters zijn uitstekend bruikbaar, maar men zij gewaarschuwd!
Laagdoorlaalfilters
Het eenvoudigste filter is gegeven in figuur 13. Zodra Q groter wordt dan 1 ontstaat een hobbel in de frequentiekarakteristiek, die toeneemt met een groter wordende Q. Indien dit geen bezwaar is, heeft een hogere Q waarde een steilere afval tot gevolg voorbij de afsnijfrequentie fc. Wil men het filter afstembaar maken dan kan men de weerstanden R3 en R4 vervangen door een tandempotentiometer. De waarde van Q kan gevarieerd worden door plaatsing van een potentiometer tussen R1 en R2 (als bij figuur 6).
Een tweede filter, dat stabieler is dan dat van figuur 13, is gegeven in figuur 14.
PAoBJG, Jan Hamer.
Deel 1 - Deel 2