Praktische filtertechniek 3; Passieve en aktieve filterschakelingen

Voor de praktische realisatie van een filter heeft men de keus uit verschillende mogelijkheden. Een filter kan geheel passief worden opgebouwd met spoelen, kondensatoren en weerstanden. Met behulp van aktieve komponenten zijn filters mogelijk waarbij geen spoelen nodig zijn, wat in veel gevallen een groot pluspunt is. Beide soorten worden hier bekeken, met de bijbehorende formules om deze later aan de hand van tabellen eenvoudig te kunnen dimensioneren.

De opzet van een praktisch filter is afhankelijk van de eisen die er aan gesteld worden, het toepassingsgebied en de beschikbare soorten komponenten. Bij eenvoudige filters kan men vaak volstaan met een geheel passieve oplossing. Ook bij komplexere filters zijn geheel passieve filters mogelijk, maar daarbij worden de mogelijkheden meestal beperkt door de grootte van de toegepaste spoelen. Aangezien de zelfindukties van de spoelen bij laagfrekwent-filters vaak zeer grote waarden hebben, wijkt men voor laagfrekwent-toepassingen meestal uit naar aktieve filters. Alleen bij zeer laagohmige schakelingen (luidsprekerfilters) worden in de audiosektor passieve filters met spoelen toegepast. Bij hoogfrekwent-filters speelt dit probleem niet en we zien hier dan ook vaak komplexe passieve konstrukties die uitstekende resultaten geven.

In dit deel geven we enkele filter-konstrukties die allemaal later aan de hand van de tabellen voor de diverse filterkarakteristieken gedimensioneerd kunnen worden. We beschrijven hier alleen maar laagdoorlaatfilters, omdat deze de basis vormen van alle andere filters. Hoogdoorlaatfilters kunnen eenvoudig gedestilleerd worden uit laagdoorlaatfilters. Bandfilters met een relatief grote bandbreedte kunnen worden samengesteld uit een laag- en een hoogdoorlaatfilter. Smalle bandfilters vormen een apart hoofdstuk waarop we in een later deel nog terugkomen.

Tenslotte zijn er nog de allpass-filters, die ook apart bekeken worden. We beginnen hier dus met de laagdoorlaatfilters.

Passieve laagdoorlaatfilters

Bij het passieve filter beperken we ons tot twee typen:

a. Een passief filter dat aan beide zijden met dezelfde weerstandswaarde wordt afgesloten (voornamelijk toegepast in de hoogfrekwent-techniek). In figuur 1a zien we dat dit filter volgens een n- of een Tstruktuur is opgebouwd. Meerdere sekties kunnen eenvoudig achter elkaar worden geschakeld, zodat een C-L-C-L-C-netwerk of L-C-L-C-L-netwerk onstaat.

Fig 1
Figuur 1. Passieve filters: a. een filter dat aan beide zijden met dezelfde weerstand wordt afgesloten; b. een filter dat op een spanningsbron met een inwendige weerstand van nul ohm wordt aangesloten.

b. Een passief filter dat op een spanningsbron met een te verwaarlozen inwendige weerstand wordt aangesloten en aan de uitgang wordt belast met een weerstand Rb. Dit type wordt voornamelijk in de laagfrekwent-techniek toegepast en heeft een T-struktuur (figuur 1b). Meerdere sekties kunnen achter elkaar worden geschakeld in de volgorde L-C-L-C-L. Voor de duidelijkheid zijn in beide gevallen een oneven aantal spoelen en kondensatoren getekend, maar een even aantal is natuurlijk ook toegestaan (bijv. een L en een C). Andere kombinaties van in-en uitgangsweerstand zijn in principe wel mogelijk, maar de bovenstaande twee typen zijn voldoende voor minstens 95% van passieve-filtertoepassingen. In de tabellen worden voor elk van deze twee passieve typen de komponentenwaarden gegeven voor een frekwentie van 1 Hz. Voor de benodigde kantelfrekwentie wordt de spoelwaarde (L'):

en de kondensatorwaarde (C'):

Aktieve laagdoorlaatfilters

Konfiguraties met spanningsvolger

De eenvoudigste vorm van een aktief laagdoorlaatfilter is getekend in figuur 2. Hierbij wordt een opamp toegepast die als spanningsvolger is geschakeld. De versterking in de door-laatband is eenmaal. Men dient zo'n filter aan te sturen vanuit een spanningsbron met een lage inwendige weerstand. De uitgangsimpedantie van het filter is ook weer zeer laag. Figuur 2a toont een opzet die twee polen heeft (een paar komplexe gekonjugeerde polen) en figuur 2a geeft een opzet met drie polen, een paar komplexe en een reële. Het filter met drie polen kan uitsluitend in een oneven-orde-opzet worden toegepast, omdat alleen hierbij een reële pool aanwezig is.

Fig 2
Figuur 2. Een aktief filter met een als spanningsvolger geschakelde opamp. a: tweepool-filter; b: driepool-filter.

Afhankelijk van de te realiseren funktie kunnen meerdere van deze sekties achter elkaar worden geschakeld. Voor een zesde-ordefilter dient men bijvoorbeeld drie tweepool-filters in serie te schakelen. Voor een vijfde-orde-filter wordt een tweepool-schakeling gekombineerd met een driepool-schakeling.

Een funktie met een oneven aantal polen kan ook gemaakt worden door een aantal tweepool-schakelingen die worden gevolgd door een passief RC-netwerk, zoals in figuur 3a is gegeven. Als de ingangsimpedantie van de navolgende schakeling zo hoogohmig is dat deze verwaarloosd kan worden t.o.v. R, dan kan een buffer achter het RC-netwerk achterwege blijven. Anders kan men de schakeling van figuur 3b nemen, waarbij de versterking van de opamp ook nog kan worden ingesteld met behulp van de weerstanden RA en RB (versterking V = 1 + RA / RB). De overdrachtsfunktie van de tweepool-opzet is onder het schema in figuur 2a gegeven.

Fig 3
Figuur 3. Een reële pool kan worden gerealiseerd met een eenvoudig RC-netwerk (a). Door toevoeging van een opamp (b) kan men deze sektie bufferen en ook laten versterken.

Daarbij is voor alle weerstanden de waarde 1 genomen. De twee kondensatoren kunnen als funktie van het reële en imaginaire deel van het komplexe poolpaar worden berekend:

Eq 3

Voor de driepool-opzet van figuur 2b is onder het schema ook de overdrachtsfunktie vermeld. Hierbij kunnen de waarden voor C1, C2 en C3 niet zo eenvoudig als funktie van α en β worden gegeven. De berekening hiervan vereist al snel een computer. Bij het netwerk met een reële pool is de kondersatorwaarde:

Voor de twee- en de driepool-opzet van de spanningsvolgerkonfiguratie worden de kondensatorwaarden in tabellen gegeven voor een frekwentie van 1 Hz, zodat men deze gemakkelijk kan omrekenen naar de gewenste frekwentie. Dat gaat als volgt:

Kies eerst een weerstandswaarde voor R. Bepaal de gewenste kantelfrekwentie en bereken C' dan:

Bij het achter elkaar schakelen van meerdere sekties hoeft niet voor elke sektie dezelfde waarde voor R te worden genomen, de frekwentie f blijft in zo'n geval natuurlijk wel gelijk voor alle sekties.

Indien men bij een oneven-orde-funktie een aantal tweepool-filters wil kombineren met een filter met een reële pool (figuur 3a of b), dan moet men er op letten dat voor de laatste tweepoolsektie en de passieve sektie aparte kondensatorwaarden in de tabellen worden gegeven die verschillen van die voor het driepool-filter.

Tweepool-filter met versterking

Figuur 4 toont een tweepool-opzet waarbij men ook nog de versterking V kan instellen. De komponenten kunnen hierbij als volgt berekend worden:

Eq 6

Gewoonlijk gaat men uit van een waarde voor C2 en berekent dan de overige komponenten. Dit type filter kan naar believen gekombineerd worden met de hiervoor beschreven filters. Men kan bijvoorbeeld een zesde-orde-filter realiseren met twee sekties volgens figuuur 2a en 1 sektie volgens figuur 4.

Fig 4
Figuur 4. Een tweepool-filter met instelbare versterking.

State-variable filter

Voor sommige toepassingen biedt een statevariable-filter (figuur 5) voordelen ten opzichte van de hiervoor behandelde filters. Bij dit filter kunnen de polen en nulpunten nauwkeurig ingesteld worden, wat bij de overige filters moeilijk gaat door de onderlinge beinvloeding van de komponenten. Bovendien beinvloeden de bandbreedte en versterking van de toegepaste opamps minder de eigenschappen van het filter. Dit type filter kan tevens versterken.

Fig 5
Figuur 5. Het statevariable-filter wordt voornamelijk toegepast in schakelingen waarbij de polen en nulpunten nauwkeurig moeten kunnen worden ingesteld.

De berekening van de komponenten gaat als volgt:

(indien de versterking 1 × is, wordt Rl gelijk aan R3 genomen)

Ook hier wordt weer uitgegaan van een kondensatorwaarde voor C en vervolgens berekent men de overige komponenten. Voor een nauwkeurige afregeling van het filter dienen nog de resonantiefrekwentie en de Q-faktor van het filter te worden berekend (bij het werkelijke kantelpunt f):

Eq 8

R3 wordt zodanig aangepast dat een maximale uitgangsspanning aan de banddoorlaat-uitgang van het filter (uitgang van A1) wordt verkregen als een frekwentie fo op de ingang wordt aangeboden. Tenslotte wordt op diezelfde uitgang de bandbreedte gemeten en R1 aangepast totdat deze overeenkomt met de bij de berekende Q-faktor behorende bandbreedte (B = f_o / Q). Bij het state-variable-filter kan men de weerstanden R3 en R1 dus het beste uitvoeren als een serieschakeling van een vaste weerstand en een meerslagen-potmeter.

Dit waren de meest gebruikte typen laagdoorlaatfilters. In het volgende deel bekijken we de hiervan afgeleide hoogdoorlaatfilters met de daarbij behorende berekeningen.