Rob's web

Praktische filtertechniek 6; Butterworth-filters

Tabel 1. Butterworth-poolpunten
Orde nReële deel -αImaginaire deel +β
20,707110,70711
30,50,86603
1 
40,382680,92388
0,923880,38268
50,309020,95106
0,809020,58779
1 
60,258820,96593
0,707110,70711
0,965930,25882
70,222520,97493
0,623490,78183
0,900970,43388
1 
80,195090,98079
0,555570,83147
0,831470,55557
0,980790,19509
90,173650,98481
0,50,86603
0,766040,64279
0,939690,34202
1 
100,156430,98769
0,453990,89101
0,707110,70711
0,891010,45399
0,987690,15643

In dit deel beginnen we met de tabellen en karakteristieken voor de diverse filtertypen. Als eerste worden de Butterworth-tabellen en -karakteristieken gegeven, aangezien dit het meest bekende en waarschijnlijk ook meest gebruikte filtertype is.

Het Butterworth-filter wordt in de elektronica veel toegepast omdat het een vlak amplitudeverloop in het doorlaatgebied kombineert met een redelijk steile afval vanaf het kantel-punt. Als nadeel moet het niet-lineaire fasegedrag worden genoemd. De afval is vrij nauwkeurig 6-n dB per oktaaf, waarbij n de orde van het filter is. Het Butterworth-filter kan worden beschouwd als een soort kompromis tussen het Bessel-filter (slappe helling maar lineair fasegedrag) en het Chebyshev-filter (steile afval maar rimpel in de doorlaatband en slecht fasegedrag). Voor toepassingen waarbij een vlakke doorlaatkurve en een steile afval gewenst zijn, is het Butterworth-filter zonder meer de beste keuze.

In tabel 1 zijn de polen gegeven voor Butterworth-filters van de tweede tot de tiende orde. Aan de hand van deze data kan men met behulp van de in de vorige delen gegeven formules zelf filters berekenen.

De Butterworth-tabellen

Het dimensioneren gaat een stuk eenvoudiger met de hierna volgende tabellen, waarin de komponentenwaarden zijn vermeld voor passieve en aktieve filters van de tweede tot tiende orde. De waarden gelden altijd voor een filter met een kantelfrekwentie van 1 Hz. Tabel 2 geeft de komponentenwaarden voor een passief filter met gelijke bron- en uitgangsimpedantie. Voor de opzet die boven de tabel is getekend, gelden de koponenten-nummers die ook aan de bovenzijde van de tabel zijn aangegeven. Konstrueert men een filter zoals onder tabel 2 is getekend, dan geldt de komponentennummering die onder de tabel staat. Moeilijk is het niet, we zullen straks een duidelijk voorbeeld geven. Tabel 3 geeft de komponenten voor een passief filter met een verwaarloosbare bron-impedantie. In tabel 4 en 5 zijn de komponentenwaarden gegeven voor de aktieve filters met enkelvoudige tegenkoppeling. In tabel 4 wordt gewerkt met tweede- en derde-ordesekties. Wil men bijvoorbeeld een zevende-ordefilter ontwerpen, dan worden twee tweede-ordesekties en een derde-ordesektie achter elkaar geschakeld. Zoals we gezien hebben in deel 3, kan men ook uitsluitend tweedeorde-sekties toepassen en bij een oneven-orde-filter een passief RC-netwerk toevoegen. De gegevens hiervoor ziet u in tabel 5. We geven deze tabel ter illustratie om te laten zien dat het zo ook kan. In de meeste gevallen is de opzet uit tabel 4 praktischer. Bij de overige filtertypen zal tabel 5 dan ook niet meer gegeven worden.

Tabel 2. Genormaliseerde komponentenwaarden voor passief laagdoorlaatfilter met identieke in- en uitgangsimpedantie.
Fig a
Orde nC1L1C2L2C3L3C4L4C5L5
20,22510,2251        
30,15920,31830,1592       
40,12180,29410,29410,1218      
50,098360,25750,31830,28750,09836     
60,082380,22510,30750,30750,22510,08283    
70,070830,19850,28680,31830,28680,19850,07083   
80,06210,17680,26470,31220,31220,26470,17680,0621  
90,055270,15920,24380,29910,31830,29910,24380,15920,05527 
100,049790,14450,22510,28360,31440,31440,28360,22510,14450,04979
L1C1L2C2L3C3L4C4L5C5
Fig b
Tabel 3. Genormaliseerde komponentenwaarden voor passief laagdoorlaatfilter met bron-impedantie van nul ohm.
Fig c
Orde nC1L1C2L2C3L3C4L4C5L5
20,22510,1126        
30,23870,21220,07985       
40,24360,2510,17320,06091      
50,24590,26970,220,14230,04918     
60,24720,280,24720,19120,12060,04119    
70,24790,28360,2640,22240,16790,10440,03541   
80,24840,29040,27510,24320,20030,14910,091930,03105  
90,24870,29320,28290,25790,22340,18160,13390,082040,02763 
100,2490,29530,28840,26850,24140,20560,16560,12140,074070,02489
Tabel 4. Genormaliseerde komponentenwaarden voor aktieve filters met enkelvoudige tegenkoppeling.
Fig dFig e
Orde nC1C2C1C2C3
20,22510,1125   
3  0,56440,22150,03221
40,41590,06091   
0,17230,147   
50,5150,04918   
  0,2790,21550,06707
60,61490,04119   
0,22510,1125   
0,16480,1537   
70,71520,03542   
0,25530,09923   
  0,24370,21260,07775
80,81580,03105   
0,28650,08842   
0,19140,1323   
0,16230,1561   
90,91650,02764   
0,31830,07958   
0,20780,1219   
  0,23160,21120,08228
101,01740,0249   
0,35060,07225   
0,22510,1125   
0,17860,1418   
0,16110,1572   
Tabel 5. Genormaliseerde komponentenwaarden voor aktieve filters met enkelvoudige tegenkoppeling.
Fig fFig g
Orde nC1C2C1
20,22510,1125 
30,31830,07958 
  0,1592
40,41590,06091 
0,17230,147 
50,5150,04918 
0,19670,1288 
  0,1592
60,61490,04119 
0,22510,1125 
0,16480,1537 
70,71520,03542 
0,25530,09923 
0,17660,1434 
  0,1592
80,81580,03105 
0,28650,08842 
0,19140,1323 
0,16230,1561 
90,91650,02764 
0,31830,07958 
0,20780,1219 
0,16940,1496 
  0,1592
101,01740,0249 
0,35060,07225 
0,22510,1125 
0,17860,1418 
0,16110,1 

De Butterworth-karakteristieken

Ten opzichte van de in deel 2 afgebeelde voorbeeld-karakteristieken zijn bij de definitieve karakteristieken enige dingen gewijzigd omwille van de duidelijkheid. Voor elk type filter worden drie series karakteristieken gegeven, waarin het volgende te zien is: De frekwentiekarakteristiek (figuur 1), de tijdvertraging (figuur 2) en het stapspanningsgedrag (figuur 3). De fasekarakteristiek is weggelaten omdat deze bij gebruik van een logaritmische schaal weinig informatie geeft over het al of niet faselineair zijn van een filter; figuur 2 vervult deze taak veel beter (een faselineair gedrag is hierin te herkennen aan een konstante tijdvertraging bij alle frekwenties). In elke figuur is de karakteristiek getekend van een tweede-, vierde-, zesde-, achtste- en tiendeorde-filter. Voor een oneven-orde-filter kan een tussenwaarde worden genomen. Op deze wijze blijft het aantal karakteristieken per figuur beperkt tot 5 en is alles nog goed te volgen.

Fig 1
Figuur 1. De frekwentiekarakteristieken voor Butterworth-filters.

Fig 2
Figuur 2. De bijbehorende tijd vertragingskurves.

Fig 3
Figuur 3. De responsie op een stapspanning.

Bij figuur 1 moet nog even de opzet van de karakteristiek verklaard worden. Om het gedrag van het filter vlak voor het kantelpunt goed te kunnen weergeven, is voor het rechter gedeelte van de kurves (links van 1 Hz) een uitgerekte schaal genomen (die links naast de karakteristiek staat). Voor het gedeelte rechts van 1 Hz geldt een grovere schaal (rechts naast de karakteristiek). Het ziet er misschien een beetje vreemd uit, maar in het gebruik is deze opzet heel handig.

Twee voorbeelden

Bij elk filtertype dat we voorstellen, zullen ook enkele uitgewerkte voorbeelden worden gegeven, zodat men leert hoe de tabellen en kurves gebruikt moeten worden. Hier de eerste twee:

Voorbeeld 1

Ontwerp een passief Butterworth-laagdoorlaatfilter met een kantelpunt op 1600 kHz, voor een bron- en afsluitimpedantie van 50 Ω. Bij 3200 kHz moet de verzwakking minstens 20 dB bedragen.

Om er achter te komen hoe groot de verzwakking moet zijn bij welke frekwentie ten opzichte van de genormaliseerde frekwentie van 1 Hz, delen we eerst de twee frekwenties op elkaar:

3200 / 1600 = 2

In figuur 1 kijken we welke kurve bij f = 2 Hz minstens 20 dB verzwakking geeft. We komen dan terecht bij een vierde-orde-filter (een derde-orde-filter is te slap, dat geeft slechts 3.6 = 18 dB verzwakking per oktaaf). Voor het genormaliseerde filter worden de vierde-orde-waarden afgelezen in tabel 2. Dat resulteert in het schema van figuur 4a. We zouden het filter ook kunnen opzetten zoals onder tabel 2 is getekend en dan ziet het schema er uit zoals figuur 4b laat zien. Bekijk dit even goed, want als u dit snapt is de opzet van tabel 2 voor eens en altijd duidelijk.

De komponentenwaarden moeten nu nog worden aangepast aan de toegepaste in- en uitgangsimpedantie en de kantelfrekwentie:

C' = C / (f × R)
L' = L × R / f

Dat resulteert dan in de komponentenwaarden van de filters rechts in figuur 4.

Fig 4
Figuur 4. Twee voorbeelden hoe een passief filter kan worden gedimensioneerd.

Enkele berekeningsvoorbeelden voor figuur 4a:

C1 = 0,1218 / (1600000 × 50) = 1,52 × 10-9 F = 1,52 nF
L1 = 0,2941 × 50 / 1600000 = 9,19 × 10-6 H = 9,19 µH

Voorbeeld 2

Ontwerp een aktief vijfde-orde Butterworth-laagdoorlaatfilter met een kantel-punt op 5 kHz.

Fig 5
Figuur 5. De berekening van een aktief vijfde-ordefilter.

Dit is snel gemaakt. Het is een oneven-orde-filter, dus hebben we een tweedeorde-sektie nodig en een derde-orde-sektie, zoals boven tabel 4 is getekend. Deze twee sekties worden achter elkaar geschakeld en dan worden eerst de genormaliseerde komponentenwaarden uit de tabel ingevuld. Kies vervolgens een waarde voor de weerstanden, bijvoorbeeld 4,7 kΩ (dat is R in de formules). Bereken dan weer met de in het eerste voorbeeld gegeven formule (voor C') de "echte" komponentenwaarden.

Ook hier weer twee berekeningsvoorbeelden:

C1 = 0,515 / (5000 × 4700) = 21,9 × 10-9 = 21,9 nF
C2 = 0,04918 / (5000 × 4700) = 2,09 × 10-9 = 2,09 nF

Tot zover de Butterworth-filters. In deel 7 volgen de gegevens van de Bessel-filters.

Deel 1 - Deel 2 - Deel 3 - Deel 4 - Deel 5 - Deel 6 - Deel 7 - Deel 8 - Deel 9 - Deel 10