Smalbandfilters danken hun naam aan het feit dat ze slechts een zeer beperkt frekwentiegebied doorlaten (of juist tegenhouden). Aangezien aan zulke filters vaak andere eisen worden gesteld dan aan de "konventionele" laag- en hoogdoorlaatfilters, is de berekening van een bandfilter niet altijd een eenvoudige klus. We beperken ons bij de bandfilters daarom tot enkele algemene (doorlaat)typen die in de meeste gevallen toereikend zullen zijn.
Bij een bandfilter spelen niet alleen de hellingen aan beide filterzijden een rol, maar ook de relatieve bandbreedte B van het doorlaatgebied (zie figuur 1). Men kan zich gemakkelijk voorstellen dat steile hellingen en een smalle doorlaatband eisen zijn die niet gemakkelijk samen gaan, dus zal het filter daarop speciaal aangepast moeten worden. In samenhang met de bandbreedte van een bandfilter staat de Q-faktor, die de verhouding aangeeft tussen de centrale frekwentie van de doorlaatband en de -3-dB-bandbreedte:
B = fh - fl
Figuur 1. Zo ziet de kurve van een bandfilter er uit. de bandbreedte B is het stukje tussen de -3-dBpunten.
De frekwentie van het filter is niet het rekenkundige gemiddelde van de -3-dBfrekwenties, maar wordt als volgt berekend:
fc = √(fl × fh)
Bij Q-faktoren hoger dan circa 10 komt de centrale frekwentie praktisch overeen met (fl + fh)/2.
Bij het berekenen van een bandfilter zal men altijd moeten uitgaan van een symmetrische opzet. Als bijvoorbeeld een bepaalde verzwakking wordt gewenst bij enkele frekwenties die buiten de doorlaatband liggen (in figuur 1 aangegeven met f1 en f2), dan moet met behulp van de formule f1 ×f 2 = fc2 worden berekend bij welke frekwentie de zwaarste eisen worden gesteld. Met deze gegevens moet dan verder worden gerekend. Een voorbeeld zal dit verduidelijken. Stel dat we een bandfilter willen ontwerpen met een centrale frekwentie van 1000 Hz, een bandbreedte van 250 Hz en een minimale verzwakking van 40 dB bij 400 Hz en 3000 Hz.
De bij 400 Hz behorende frekwentie aan de andere kant van het bandfilter kan als volgt worden berekend: 400 × f2 = 10002, dus f2 = 10002 / 400 = 2500 Hz
Willen we dus bij 400 Hz een verzwakking van 40 dB bereiken, dan bereiken we die verzwakking van 40 dB aan de bovenkant van het filter al bij 2500 Hz. Gaan we uit van 3000 Hz, dan is de bijbehorende frekwentie aan de onderkant van het bandfilter: f1 = 10002 / 3000 = 333,3 Hz Deze laatste kombinatie geeft niet de gewenste verzwakking en daarom moet hier voor de eerste kombinatie gekozen worden.
De "steilheid" van de gewenste hellingen kan men eenvoudig berekenen uit de verhouding van de bandbreedte tussen twee (even sterk) verzwakte frekwenties en de doorlaat-bandbreedte:
frekwentieverhouding = (2500 - 400) / 250 = 5,25
In de frekwentiekurves die binnnenkort worden gepubliceerd, zoekt u dan een type filter dat bij een genormaliseerde frekwentie van 5,25 een verzwakking van minstens 40 dB geeft. Deze methode kan overigens ook gebruikt worden bij laag- en hoogdoorlaatfilters.
Passieve bandfilters
De eerste en eenvoudigste manier om een passief bandfilter samen te stellen, is het berekenen van een laag- en een hoogdoorlaatfilter en deze in serie te schakelen zoals we ook al in de vorige aflevering hebben beschreven. Bij smalbandfilters moet dan wel, om de impedanties aan beide zijden van de filters korrekt te houden, een T- of π-verzwakker tussen de filters worden opgenomen, zoals in figuur 2 getekend is. Een verzwakking van enkele dB's is hierbij noodzakelijk om een goede impedantiekorrektie te verkrijgen. Voor geïnteresseerden vermelden we nog dat een dergelijke verzwakker berekend kan worden met behulp van Infokaart 95 (Elektuur september 1983).
Figuur 2. Bij het in serie schakelen van twee filters moet een impedantiekorrektie worden tussengevoegd in de vorm van een verzwakker.
Een wat meer "gespecialiseerd" bandfilter kan worden ontworpen door eerst een genormaliseerd laagdoorlaatfilter te berekenen en daarop een band-transformatie los te laten. Dat is een vrij eenvoudige zaak: een kondensator wordt vervangen door een parallelschakeling van een kondensator en een spoel, terwijl een spoel wordt vervangen door een serieschakeling van een spoel en een kondensator. In figuur 3 is dat weergegeven, inklusief de formules om de toegevoegde komponent te berekenen. Figuur 4 geeft een voorbeeld van een dergelijke opzet. We kijken ook hier weer welke steilheid de hellingen moeten hebben en berekenen vervolgens een laagdoorlaatfilter. De dimensionering van de komponenten wordt afgestemd op een laagdoorlaatfilter met een bandbreedte die gelijk is aan de 3-dB-doorlaatband van het bandfilter. Daarna worden de komponenten vervangen door hun band-afgeleiden uit figuur 3 en de waarden berekend met behulp van de daarbij gegeven formules. Deze methode werkt snel en geeft goede resultaten.
Figuur 3. Op deze wijze kunnen de komponenten in een laagdoorlaatfilter worden getransformeerd naar banddoorlaat-kombinaties.
Figuur 4. Een praktische uitwerking met de in figuur 3 gegeven transformaties.
Bij passieve filters wordt de werking van het filter ook sterk beinvloed door de kwaliteitsfaktor van de toegepaste spoelen. Bij een spoel wordt de Q bepaald door de inwendige weerstand bij de gebruikte frekwentie:
Als men ervoor zorgt dat de Q-faktor van de toegepaste spoelen enige malen groter is dan de Q-faktor van het bandfilter, dan blijven de afwijkingen ten opzichte van de theoretische kurves gering.
Aktieve bandfilters
Voor het ontwerpen van een aktief bandfilter hebben we hier gekozen voor twee redelijk eenvoudige schakelingen. De eerste is het bandfilter met meervoudige tegenkoppeling (figuur 5). Dit filter is bruikbaar tot Q-waarden van circa 25 en biedt bovendien het voordeel dat men hier kan uitgaan van een beschikbare kondensatorwaarde, waarna de weerstanden berekend worden. Voor het dimensioneren van een bandfilter zijn nogal wat berekeningen nodig. Voor elke pool is een apart filter nodig, zodat een schakeling snel uitgebreide vormen aanneemt. Een vierde-ordefilter bestaat dus uit vier sekties. Om erachter te komen welk type filter en welke steilheid nodig is voor een bepaalde toepassing, worden eerst de berekeningen uitgevoerd die aan het begin van dit deel zijn gegeven. Aan de hand van de resultaten kunnen de poolpunten van het gewenste filtertype in de tabellen worden opgezocht, waarna we aan de slag kunnen met de specifieke berekeningen voor het verkrijgen van de centrale frekwentie voor elke sektie en de sektie-Q.
Figuur 5. Het bandfilter met meervoudige tegenkoppeling is nog relatief eenvoudig te berekenen en kan gebruikt worden voor Q-waarden van circa 25 en lager.
Bij een paar komplexe polen gaat dat als volgt:
Hierbij zijn fsa en fsb de centrale frekwenties van de twee bandfilters; ze hebben beide dezelfde Q-faktor Qs.
Bij een reële pool is de berekening iets eenvoudiger:
De centrale frekentie van een reële-pool-sektie is gelijk aan de centrale frekwentie van het totale bandfilter.
De versterkingsbijdrage van elke trap aan het gehele filter kan op de volgende manier worden berekend:
Hierbij is Vs de versterking bij de resonantiefrekwentie fs van de sektie, fc is de centrale frekwentie van het gehele filter.
Het is verstandig om de totale gewenste versterking van het filter gelijkmatig over de verschillende sekties te verdelen.
Nadat al deze berekeningen zijn uitgevoerd, zijn per sektie drie gegevens bekend: Qs, fs en Vs. Vervolgens kan het filter worden gedimensioneerd.
Nadat we een geschikte waarde voor de kondensatoren C hebben gekozen, worden de drie weerstanden berekend:
De versterking Vs van een sektie moet kleiner of gelijk zijn aan de versterkingsfaktor van de meervoudig tegengekoppelde schakeling, namelijk 2 × Qs2. Hierbij moet tevens worden vermeld dat de open-lusversterking van de toegepaste opamp altijd veel groter moet zijn dan die 2 × Qs2.
Een schakeling die gebruikt kan worden als hogere Q-waarden noodzakelijk zijn, is de dubbeleopamp-schakeling (figuur 6). Hiermee kan een Q van meer dan 100 bereikt worden. De komponentenwaarden kunnen hierbij als volgt worden berekend:
Figuur 6. Voor hogere Q's (tot circa 100) is het dubbele-opamp-filter zeer geschikt.
De maximale versterking van deze konfiguratie bedraagt 4 × Qs2.
In verband met de vrij komplexe opzet van de bandfilters beperken we ons tot deze twee typen. De volgende keer beginnen we met het tabellen-overzicht voor de diverse filtersoorten, waarbij praktische berekeningsvoorbeelden tonen hoe men gebruik kan maken van alle tot nu toe verstrekte informatie.
Deel 1 - Deel 2 - Deel 3 - Deel 4 - Deel 5 - Deel 6 - Deel 7 - Deel 8 - Deel 9 - Deel 10